Speedway

Komplexkonjugat

Komplexa tal och deras konjugerade värden i det komplexa talplanet. Talen är varandras speglingar i den reella axeln

Komplexkonjugatet till ett komplext tal är det komplexa tal som har samma realdel och där imaginärdelen har samma belopp men är av motsatt tecken^[1]. Konjugering innebär att i det komplexa talplanet avbilda talet som dess spegling i den reella axeln. Komplexkonjugatet av ett tal $\ z=a+b\,\mathrm {i}$ betecknas med ${\bar {z}}$ eller $z^{*}$ och kan definieras som

{\bar {z}}={\overline {a+b\,\mathrm {i} }}=a-b\,\mathrm {i} \quad a,b\in \mathbb {R}

Till exempel är

{\overline {2+3\,\mathrm {i} }}=2-3\,\mathrm {i}

{\overline {5}}=5

{\overline {\mathrm {i} }}=-\mathrm {i}

Egenskaper

För alla komplexa tal $z$ och $w$ gäller

{\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}

{\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}

{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}

om

w\neq 0

{\overline {z}}=z\!\

om och endast om

\ z

\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|

\arg({\overline {z}})=-\arg(z)

{\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}

z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\ \left|z\right|^{2}}}

om

z\neq 0

Komplexkonjugering är ett av de enklaste exemplen på en icke-analytisk funktion.

Referenser

Noter

^ Weisstein, Eric W. "Complex Conjugate." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ComplexConjugate.html

Komplexa tal (ℂ)

Komplexkonjugat · Komplex vektor · Imaginära tal · Reella tal · Cirkelgrupp

Quelle: https://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexkonjugat