Sieczna

Sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach^[1]. Odcinek siecznej ograniczony punktami przecięcia z krzywą nazywa się cięciwą tej krzywej.

Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt

Dla danego punktu $P$ i okręgu $o,$ dla każdej siecznej przechodzącej przez $P$ i przecinającej $o$ w punktach $A$ i $B$ wartość wyrażenia $|PA|\cdot |PB|$ jest ta sama^[2]. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych^[2].

Dowód

Dla $P$ na zewnątrz okręgu

Poprowadźmy z punktu $P$ styczną i sieczną okręgu $o.$ Punkt styczności nazwijmy $T,$ a punkty przecięcia z sieczną $A$ i $B,$ gdzie $|PA|<|PB|.$ Kąt $PBT$ jest kątem wpisanym opartym na cięciwie $TA,$ więc przystaje do kąta dopisanego $ATP.$ Trójkąty $ATP$ i $TBP$ mają wspólny kąt $TPB,$ a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.

Wobec tego prawdą jest, że:

{\frac {|PT|}{|PA|}}={\frac {|PB|}{|PT|}}.

Po wymnożeniu obustronnie przez $|PA|\cdot |PT|$ otrzymujemy

|PT|^{2}=|PA|\cdot |PB|.

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej $|PT|^{2}=|PA|\cdot |PB|,$ a $|PT|$ jest stałe, to ${|PA|}\cdot |PB|$ też musi być stałe, co kończy dowód.

Dla $P$ wewnątrz okręgu

Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne według cechy kk. Stąd:

{\frac {|AP|}{|PD|}}={\frac {|CP|}{|PB|}}

|AP|\cdot |PB|=|DP|\cdot |PC|

co było do udowodnienia.

Zobacz też

metoda siecznych

Przypisy

↑ sieczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04] .
↑ ^a ^b Jacek Człapiński, Zastosowanie twierdzenia o odcinkach stycznych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-03-19].

[epwn-1] sieczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04] .

[zpe-2] Jacek Człapiński, Zastosowanie twierdzenia o odcinkach stycznych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-03-19].

[1]

[2]

Speedway