Liczby podwójne

Liczby podwójne – wyrażenia postaci $a+b\jmath ,$ gdzie $a,b\in \mathbb {R} ,$ $\jmath \notin \mathbb {R}$ oraz $\jmath ^{2}=1.$

Konstrukcja

Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych, tj. $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ z następującymi dwoma działaniami:

(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d),

(a,b)\otimes (c,d)=(ac+bd,ad+bc).

Para $(1,0)$ jest elementem neutralnym mnożenia $\otimes$ oraz $(0,1)^{2}=(1,0).$

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera^[a]. Dzielniki zera mają postać $(a,a)$ lub $(a,-a),$ bowiem dla dowolnych $x,y{:}$

(x,x)\otimes (y,-y)=(y,-y)\otimes (x,x)=(0,0).

Ponieważ $(1,0)$ i $(0,1)$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\jmath

gdzie

\jmath =(0,1).

Dla liczby podwójnej niebędącej dzielnikiem zera, tj. $c+d\jmath ,\quad c^{2}-d^{2}\neq 0$ istnieje odwrotność:

(c+d\jmath )^{-1}={\frac {1}{c+d\jmath }}={\frac {-c+d\jmath }{-c^{2}+d^{2}}}.

Pierścień liczb podwójnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia drugiego:

a+b\jmath \ \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}},

w szczególności

\jmath \ \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.

↑ Z tego względu określenie „liczby podwójne” jest nieco mylące – w algebrze najczęściej liczbami określa się podzbiory (podciała) ciała liczb zespolonych.

Double and dual numbers (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

liczby hiperzespolone	kwaterniony (ℍ) oktoniony (𝕆) sedeniony (𝕊) kokwaterniony bikwaterniony tessariny
inne konkretne zbiory	liczby zespolone (ℂ) liczby dualne liczby podwójne liczby grassmanowskie wielomiany funkcje wymierne ℝ³ z iloczynem wektorowym endomorfizmy liniowe macierze kwadratowe tensory
algebry Banacha	C*-algebra algebra von Neumanna algebra dyskowa algebra funkcyjna algebra Wienera
inne klasy algebr	algebra Clifforda algebra Liego algebra wolna
twierdzenia	Frobeniusa o algebrach z dzieleniem