Lemat Fatou

Lemat Fatou – lemat noszący nazwisko Pierre’a Fatou, który daje ograniczenie górne na wartość całki Lebesgue’a funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Lemat Fatou jest jednym z trzech, obok twierdzeń o zbieżności monotonicznej i ograniczonej (oba autorstwa Henriego Lebesgue’a), podstawowych twierdzeń granicznych analizy i teorii miary. Wykorzystywany jest w niektórych dowodach twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej oraz zupełności przestrzeni $L^{p}$ oraz w teorii prawdopodobieństwa przy wyznaczaniu wartości oczekiwanych pewnych zmiennych losowych.

Lemat

Zobacz też: granica dolna, funkcja mierzalna i funkcja sumowalna (całkowalna).

Niech $f_{k}\colon X\to [0,+\infty ]$ będą funkcjami $\mu$ -mierzalnymi określonymi na wspólnej przestrzeni z miarą $(X,\mu )$ dla $k=1,\dots .$ Wówczas

\int \liminf _{k\to \infty }f_{k}\operatorname {d} \!\mu \leqslant \liminf _{k\to \infty }\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu .

Uwaga

Jeśli funkcje $f_{k}$ są sumowalne (całkowalne) i prawa strona nierówności jest skończona, to sumowalna (całkowalna) jest również funkcja podcałkowa po lewej stronie nierówności.

Dowód

Niech $g:=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\chi _{A_{j}}$ oznacza nieujemną funkcję prostą mniejszą lub równą $\liminf _{k\to \infty }f_{k}.$ Niech ponadto zbiory $\mu$ -mierzalne $\{A_{j}\}_{j=1}^{\infty }$ będą rozłączne oraz $a_{j}>0$ dla $j=1,\dots .$

Niech $0<t<1$ będzie ustalone. Wówczas

A_{j}=\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{j,k},

gdzie:

B_{j,k}:=A_{j}\cap \left\{x\in X\colon f_{l}(x)>ta_{j}\ \ {\text{dla wszystkich}}\ \ l\geqslant k\right\}.

Ponieważ

A_{j}\supseteq B_{j,k+1}\supseteq B_{j,k}\qquad (k=1,\dots ),

zatem

\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant \sum _{j=1}^{\infty }\int _{A_{j}}f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant \sum _{j=1}^{\infty }\int _{B_{j,k}}f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant t\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\mu \left(B_{j,k}\right);

stąd zaś

\liminf _{k\to \infty }\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant t\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\mu (A_{j})=t\int g\operatorname {d} \!\mu .

Nierówność ta obowiązuje dla każdego $0<t<1,$ a każda funkcja prosta $g$ jest mniejsza lub równa $\liminf _{k\to \infty }f_{k}.$ Dlatego

\liminf _{k\to \infty }\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant \int _{*}\liminf _{k\to \infty }f_{k}\operatorname {d} \!\mu =\int \liminf _{k\to \infty }f_{k}\operatorname {d} \!\mu ,

gdzie $\int _{*}$ oznacza całkę dolną^[a].

Zobacz też

Uwagi

↑ Całka dolna funkcji $f\colon X\to [-\infty ,+\infty ]$ definiowana jest jako
$\int _{*}f\operatorname {d} \!\mu :=\sup \left\{\int g\operatorname {d} \!\mu \colon \ g\ \ {\text{jest}}\ \ \mu {\text{-calkowalna, prosta i}}\ \ g\leqslant f\ \ \mu {\text{-p.w.}}\right\}.$
Podobnie definiuje się całkę górną
$\int ^{*}f\operatorname {d} \!\mu :=\inf \left\{\int g\operatorname {d} \!\mu \colon \ g\ \ {\text{jest}}\ \ \mu {\text{-calkowalna, prosta i}}\ \ g\geqslant f\;\mu {\text{-p.w.}}\right\}.$
Gdy całki górna i dolna funkcji $\mu$ -mierzalnej $f\colon X\to [-\infty ,+\infty ]$ są równe, to funkcję nazywa się $\mu$ -całkowalną i definiuje jej całkę jako
$\int f\operatorname {d} \!\mu :=\int _{*}f\operatorname {d} \!\mu =\int ^{*}f\operatorname {d} \!\mu$
(w tym ujęciu funkcja może mieć zatem całkę równą $+\infty$ lub $-\infty ;$ nieujemna funkcja $\mu$ -mierzalna jest zawsze $\mu$ -całkowalna).

[1] Całka dolna funkcji $f\colon X\to [-\infty ,+\infty ]$ definiowana jest jako
$\int _{*}f\operatorname {d} \!\mu :=\sup \left\{\int g\operatorname {d} \!\mu \colon \ g\ \ {\text{jest}}\ \ \mu {\text{-calkowalna, prosta i}}\ \ g\leqslant f\ \ \mu {\text{-p.w.}}\right\}.$
Podobnie definiuje się całkę górną
$\int ^{*}f\operatorname {d} \!\mu :=\inf \left\{\int g\operatorname {d} \!\mu \colon \ g\ \ {\text{jest}}\ \ \mu {\text{-calkowalna, prosta i}}\ \ g\geqslant f\;\mu {\text{-p.w.}}\right\}.$
Gdy całki górna i dolna funkcji $\mu$ -mierzalnej $f\colon X\to [-\infty ,+\infty ]$ są równe, to funkcję nazywa się $\mu$ -całkowalną i definiuje jej całkę jako
$\int f\operatorname {d} \!\mu :=\int _{*}f\operatorname {d} \!\mu =\int ^{*}f\operatorname {d} \!\mu$
(w tym ujęciu funkcja może mieć zatem całkę równą $+\infty$ lub $-\infty ;$ nieujemna funkcja $\mu$ -mierzalna jest zawsze $\mu$ -całkowalna).

[a]

Speedway

Lemat

Dowód

Zobacz też

Uwagi