Er begann ab 1973 an Turnieren der höchsten Ebene teilzunehmen. 1977 erreichte er in Bombay, das heute als Mumbai bekannt ist, zum ersten Mal ein Finale auf der ATP Tour. Während er im Einzel am Lokalmatador Vijay Amritraj scheiterte, konnte er im Doppel mit Mike Cahill seinen ersten Turniersieg feiern. Zwei Jahre später holte er sich den ersten Einzeltitel in Tokio.
Einen seiner größten Karriereerfolge feierte Moor 1981 bei den French Open. An der Seite von Eliot Teltscher erreichte er das Doppelfinale, in welchem sie dem Duo Heinz Günthardt und Balázs Taróczy in drei Sätzen unterlagen. In diesem Zeitraum erklomm er im Einzel mit Rang 32 und im Doppel mit Platz 24 jeweils sein Karrierehoch in der Tennisweltrangliste.
1987 beendete Moor seine Karriere, in der er zwei Einzeltitel und drei Doppeltitel auf der ATP Tour sowie einen Challenger-Titel an der Seite von Blaine Willenborg gewinnen konnte.