S-Objekt

Ein S-Objekt ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Folge an Objekten mit Gruppenwirkungen der symmetrischen Gruppen auf ihnen. Verwendet werden S-Objekte insbesondere in der Algebraischen Topologie, etwa bei der Definition des symmetrischen Produktes, das Homotopie- und Homologiegruppen verbindet.

Definition

Ein S-Objekt in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist eine Folge an Objekten $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}$ mit jeweils einer Gruppenwirkung der symmetrischen Gruppe $\operatorname {Sym} _{n}$ auf $X_{n}$ . Diese lässt sich auf zwei verschiedene Arten angeben. Eine Art ist als (kovarianter) Funktor $\mathbf {B} \operatorname {Sym} _{n}\rightarrow {\mathcal {C}},*\mapsto X_{n}$ , wobei $\mathbf {B} \operatorname {Sym} _{n}$ die Kategorie mit nur einem Objekt ist, das man üblicherweise mit $*$ bezeichnet, und den Morphismen $\operatorname {Aur} _{\mathbf {B} \operatorname {Sym} _{n}}(*)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {B} \operatorname {Sym} _{n}}(*,*)\cong \operatorname {Sym} _{n}$ . Eine andere Art ist als Gruppenhomomorphismus $\operatorname {Sym} _{n}\rightarrow \operatorname {Aut} (X_{n})$ .

Alternativ kann ein S-Objekt in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ mit der Permutationskategorie $\mathbf {Sym}$ auch kurz als (kovarianter) Funktor $\mathbf {Sym} \rightarrow {\mathcal {C}}$ definiert werden.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel für ein S-Objekt in der Kategorie der topologischen Räume $\mathbf {Top}$ lässt sich aus einem einzelnen topologischen Raum $X$ konstruieren, indem $X_{n}=X^{n}$ einfach jeweils Produkte sind. Nun wirkt die symmetrische Gruppe $\operatorname {Sym} _{n}$ kanonisch auf diesen durch Permutation der Einträge. Über die Quotiententopologie und Limestopologie lässt sich mittels

\operatorname {SP} _{n}(X):=X^{n}/\operatorname {Sym} _{n}

\operatorname {SP} (X):=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SP} _{n}(X)

das symmetrische Produkt definieren. Nach dem Satz von Dold-Thom sind dessen Homotopiegruppen genau die reduzierten singulären Homologiegruppen des topologischen Raumes:

{\widetilde {H}}_{n}(X,\mathbb {Z} )=\pi _{n}\operatorname {SP} (X).

Literatur

Ezra Getzler, J. D. S. Jones: Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces. 8. März 1994; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, hep-th/9403055).
Jean-Louis Loday: La renaissance des opérades. In: www.numdam.org. 1996, abgerufen am 27. September 2018 (englisch).

Speedway

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