Stegfunktion

En stegfunktion eller trappfunktion är en styckvis konstant funktion. I definitionen nedan är ser man att stegfunktioner kan uttryckas som ändliga linjärkombinationer av mycket enkla funktioner.

Trappfunktioner används vid definitionen av Riemannintegralen.

Definition

En funktion $f(x)$ är en stegfunktion om det finns reella tal $x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ och funktioner $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)$ sådana att

$x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}$
$p_{i}(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&om\;x<x_{i-1}\\1,&om\;x\geq x_{i}\end{matrix}}\right.$
$f(x)=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\cdot p_{i}(x)$

Detta kan även formuleras som att $f(x)$ kan skrivas

\sum _{i=0}^{n}a_{i}\chi _{I_{i}}

där $\chi _{I_{i}}$ där är indikatorfunktionen för intervallet $I_{i}$ .

Enhetsstegfunktionen

Huvudartikel: Heavisides stegfunktion

Ett exempel på en stegfunktion är enhetsstegfunktionen eller Heavisides stegfunktion eller Heavisidefunktionen. Det är den funktion $u(x)$ (även betecknad H(x), $\chi (x)$ eller $\theta (x)$ ) som antar värdet 0 då $x<0$ och värdet 1 då $x>0$ (vad den antar för värde i $x=0$ är oftast oväsentligt och definieras därmed endast om så behövs).