Talföljd

En talföljd (följd, progression) är en ändlig eller oändlig följd av tal, vanligen betecknad med hjälp av index som $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

Definitioner

Talen $a_{1},a_{2},a_{3},\dots \$ kallas talföljdens element. Talföljden kan betraktas som en funktion f från de positiva heltalen till alla tal, $f(n)=a_{n}\$ .

En talföljd kan betecknas $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ Ofta används den kortare beteckningen $(a_{n})\$ .

Notera att talen i följden inte behöver ha olika värden. Ett exempel på detta är talföljden $a_{n}=(-1)^{n}$ vilket ger talföljden $-1,1,-1,1,-1,1\dots$ .

Att beskriva en talföljd

Talföljden kan anges med en explicit formel, till exempel

a_{n}=2^{n}\

.

Den kan också anges genom en rekursionsformel, där varje element uttrycks med hjälp av det föregående elementet , tillsammans med startvärdet, till exempel

a_{n+1}=2a_{n},\quad a_{1}=2\

Typer

En talföljd kallas

växande om $a_{n+1}\geq a_{n}$ för alla n

och strängt växande om $a_{n+1}>a_{n}$ för alla n

avtagande om $a_{n+1}\leq a_{n}$ för alla n

och strängt avtagande om $a_{n+1}<a_{n}$ för alla n

monoton om den är antingen växande eller avtagande,
oändlig om n kan anta hur stora värden som helst,
begränsad upptill om det finns ett tal M sådant att $a_{n}<M$ för alla n
begränsad nedtill om det finns ett tal m sådant att $a_{n}>m$ för alla n

Konvergens och divergens

Om talen i en oändlig talföljd närmar sig ett bestämt tal b, kallas talföljden konvergent och b kallas talföljdens gränsvärde:

\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=b

En följd som inte är konvergent kallas divergent.

Exempel:

$a_{n}={\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},...$ är konvergent med gränsvärdet 0;
$a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}=-1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...$ är konvergent med gränsvärdet 0;
$a_{n}=|\sin \left({\frac {\pi n}{2}}\right)|=1,0,1,0,1,0,...$ är divergent;
$a_{n}=11n=11,22,33,...$ är divergent.

En (oändlig) decimalutveckling är en konvergent talföljd. Betrakta t.ex. det rationella talet och dess decimalutveckling $0,\!757575...$ ; den senare står för den konvergenta följden ${\frac {7}{10}},{\frac {75}{10^{2}}},{\frac {757}{10^{3}}},{\frac {7575}{10^{4}}},\ldots$ vars gränsvärde är 25/33.