Riemannintegral
Riemannintegral, skapad av Bernhard Riemann, var inom matematisk analys den första rigorösa definitionen av integraler. Det finns flera andra definitioner, bland annat Lebesgueintegralen, som har teoretiska fördelar, men är mer komplicerade.
Formell definition
Riemanns idé var att definiera integralen för begränsade funktioner f : [a,b] → ℝ med en "kolonnapproximation". Först delas [a,b] upp i mindre intervall och sedan väljs en punkt från varje intervall. Då fås en kolonn med intervallets bredd b – a och funktionen f:s värde i den utvalda punkten som höjd. En riemannsumma är summan av kolonnernas area. Riemannsummorna approximerar arean under en funktionskurva och riemannintegralen definieras som ett gränsvärde av riemannsummor.
Mer precist, partionera [a,b] så att ett antal mindre intervall bildas enligt
- , ,
![{\displaystyle \Delta _{i}=[c_{i-1},c_{i}]\subset [a,b]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40888f289863f83ab43fc88d82d9c3453124ee55)
och välj en punkt ξi ∈ Δi. Då definierar paret
en kolonn vars area är
där ℓ är längden av intervallet:
- .
![{\displaystyle \ell (\Delta _{i})=\ell ([c_{i-1},c_{i}])=c_{i}-c_{i-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94c331c24712053c610f13d3b3c5e4fe968410d)
En n-riemannsumma för f, n ∈ ℕ definieras som talet
- ,
det vill säga som summan av alla kolonners areor. Riemannintegralen för funktionen f är talet
det vill säga, bästa approximationen för arean under f:s funktionskurva.
Riemannintegralen i ℝn
Riemann definierade endast riemannintegralen i ℝ men metoden kan generaliseras till ℝn med samma kolonnapproximation. Låt
![{\displaystyle B=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c096f66b454d5a9ddd5488ba08ec90cc7ecc0f)
vara ett n-rätblock i ℝn och f : B → ℝ vara en begränsad funktion. Först partioneras B i n-rätblock
- ,
och sedan väljs ξi = (ξi,1, …, ξi,n) ∈ Bi. Då definierar paret
en n-dimensionell kolonn vars mått är
där V är n-dimensionella volymen för rätblocket:
![{\displaystyle V(B_{i})=V([c_{i,1},c_{i+1,1}]\times \ldots \times [c_{i,n},c_{i+1,n}])=\ell ([c_{i,1},c_{i+1,1}])\ldots \ell ([c_{i,n},c_{i+1,n}])=\prod _{k=1}^{n}(c_{i+1,k}-c_{i,k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb51c7665f49e5fc877ed55a2f1a07547bac4f5)
En n-riemannsumma för f, n ∈ ℕ definieras som talet
- ,
det vill säga, som summan av alla kolonners storlek. Riemannintegralen för en funktion f är talet
det vill säga, bästa approximationen för (n + 1)-dimensionella måttet under f:s funktionskurva.
Se även
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Riemannintegral.