Konjugatregeln
 |
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Inom matematiken är konjugatregeln ofta använd för att skriva om en differens till en produkt. Om och är två tal är
Konjugatregeln gäller även för andra matematiska objekt än tal. Objekten och måste då kommutera.
Exempel
Huvudräkning
Det kan vara enklast att beräkna
enligt
Partiella differentialekvationer
Homogena ideala vågekvationen i en rumsdimension
Homogena ideala vågekvationen i en rumsdimension kan lösas genom att först skriva om enligt
Genom insättning kan följande enkelt verifieras:
Nollproduktmetoden och superpositionsprincipen kan nu användas för att få lösningen
Laplaces ekvation i två rumsdimensioner
På samma sätt som i föregående exempel fås
med lösning
Notis om schrödingerekvationen
Man kan tänka sig att schrödingerekvationen
utgör den första av "faktorerna" i uppdelningen
Allmänna konjugatregeln
Om exponenten är ett godtyckligt positivt heltal fås vad som kallas den allmänna konjugatregeln:
Exempel
Tillämpning inom talteori
Låt a, b och n beteckna positiva heltal. Den allmänna konjugatregeln visar att ett tal på formen bara kan vara ett primtal om differensen mellan a och b är ett. För att hitta primtal på denna form är det därför tillräckligt att inskränka letandet till tal av typen Speciellt ger valet det som kallas mersennetal:
För vissa värden på det positiva heltalet är ett primtal (mersenneprimtal) och för sådana värden måste talet
vara ett primtal enligt konjugatregeln.
Bevis av den allmänna konjugatregeln
Den allmänna konjugatregeln kan bevisas med hjälp av matematisk induktion med avseende på det positiva heltalet n:
- Först visas att regeln är sann då n = 1
- Sedan antas att regeln är sann då n = N, där N är ett positivt heltal
- Sedan visas att regeln är sann för nästa positiva heltal n = N + 1
- Slutligen används matematisk induktion som leder till att regeln är sann för alla positiva heltal n.
För det positiva heltalet n = 1 innebär allmänna konjugatregeln sambandet
vilket uppenbarligen är sant. Den allmänna konjugatregeln är därför sann för det positiva heltalet n = 1.
Nu antas att den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, det vill säga:
Med utgångspunkt från detta antagande skall det visas att regeln är sann för nästa positiva heltal, det vill säga att
Differensen skrivs om på ett sätt som gör att det går använda det som är känt om differensen
De termer slås samman som innehåller faktorn och även de termer som innehåller faktorn b:
Sedan ersätts differensen med det uttryck som antagits vara sant:
Därefter bryts den gemensamma faktorn ut och återstoden skrivs ut i detalj:
Sedan multipliceras faktorn b in i summan ovan och därmed är
Med hjälp av summa-symbolen kan resultat skrivas på en form som visar att
Det har härmed visats att om den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, så är den även sann för nästa positiva heltal n = N + 1.
Enligt principen för matematisk induktion är då den allmänna konjugatregeln sann för alla positiva heltal n.