Harmonisk funktion

En harmonisk funktion är en funktion som uppfyller Laplaces ekvation.

Definition

Låt f : Rⁿ → R, och låt U vara en öppen delmängd av Rⁿ. f är harmonisk på U om f är två gånger kontinuerligt deriverbar på U och

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}=0

i varje punkt i U. Ekvationen ovan kallas Laplaces ekvation och skrivs ofta $\nabla ^{2}f=0$ eller $\ \Delta f=0.$

Koppling till analytiska funktioner

Följande sats visar att real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion är harmoniska.

Sats 1.

Låt f(z) = u(x,y) + iv(x,y) vara analytisk på en öppen mängd U. Då är funktionerna u(x,y) och v(x,y) harmoniska på U.

Bevis.

Eftersom real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion har kontinuerliga partiella andraderivator så gäller att

${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial u}{\partial y}}$

Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer får vi

${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial u}{\partial y}}\Leftrightarrow {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}$

vilket visar att v är harmonisk på U. Att även u är det visas analogt.

Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer kan vi också, givet en harmonisk funktion u(x,y) finna en annan harmonisk funktion v(x,y) sådan att u(x,y) + iv(x,y) är analytisk. v är här ett så kallat harmoniskt konjugat av u.

Exempel

Exempel på harmoniska funktioner:

$\ f(x_{1},x_{2})=\ln(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$

$\ u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Egenskaper

Medelvärdesegenskapen

Låt f: U → R vara kontinuerlig på en öppen mängd U $\subseteq$ C. Antag att det för varje $z_{0}$ i U gäller att

$\left\{z;\left|z-z_{0}\right|\leq \epsilon _{z_{0}}\right\}\subseteq U$

för något $\epsilon _{z_{0}}>0.$ Om det gäller att

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+\epsilon e^{it})\,dt$

för varje $0<\epsilon <\epsilon _{z_{0}}$ så är f harmonisk.

Maximum och minimum

Låt U vara en begränsad enkelt sammanhängande och öppen mängd med rand D. Om f är harmonisk på U och kontinuerlig på U och D så antar f sitt maximum och minimum på D.

Liouvilles sats

Om f är harmonisk och uppåt eller nedåt begränsad på Rⁿ är f konstant.

Kommentarer

Harmoniska funktioner är mycket viktiga inom matematisk fysik. Exempelvis kan vi låta u(x,y,z) beteckna den elektrostatiska potentialen som orsakas av laddningar i rummet. Då är u harmonisk på de områden i rummet där laddningstätheten är 0. Andra fysikaliska exempel då harmoniska funktioner uppkommer är tvådimensionella vätskeflödesproblem och jämviktstemperaturproblem.

Se även

Potentialteori

Källor

E.B. Saff, A.D. Snider. Fundamentals of complex analysis. Third edition.
A. Persson, L-C Böiers. Analys i flera variabler.
Weisstein, Eric W. "Mean-Value Property." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueProperty.html

Fahrer / Team für die Suche eingeben: