Egenskaper hos måttintegral

Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om måttintegral.

Måttintegraler har några intressanta egenskaper. Låt $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ vara ett måttrum, $\int \,d\mu$ vara en måttintegral med avseende på måttet µ och f och g vara mätbara funktioner $X\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ .

Grundläggande egenskaper

Måttintegraler dessa grundläggande egenskaper.

Monotonicitet: om $f\leq g$ är

\int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu \,

.

Linjäritet: om f och g är integrerbara är summan $af+bg\,$ också integrerbar och

\int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu \,

för alla $a,b\in \mathbb {R}$ .

Triangelolikheten för integraler: absolutbeloppet av integralen är mindre än eller lika med integralen av absolutbeloppet:

\left|\int f\,d\mu \right|\leq \int |f|\,d\mu \,

.

Additivitet för funktioner: om $f_{1},...,f_{n}\,$ är integrerbara funktioner är

\int \sum _{k=1}^{n}f_{k}\,d\mu =\sum _{k=1}^{n}\int f_{k}\,d\mu

Additivitet för mängder: om $f\,$ är mäbara funktionen och $A_{1},...,A_{n}\,$ är parvis disjunkta mätbara mängder är

\int _{A_{1}\cup \ldots \cup A_{n}}f\,d\mu =\sum _{k=1}^{n}\int _{A_{k}}f\,d\mu

Nollmängder

Nollmängder påverkar inte måttintegraler.

Om $\mu (A)=0\,$ så är

\int _{A}f\,d\mu =0\,

.

Om $f=g\,$ µ-nästan överallt så är

\int f\,d\mu =\int g\,d\mu \,

.

Konvergenssatser

Måttintegraler har många konvergenssatser. Konvergenssatser kallas de villkor som leder till

\int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu =\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu

,

där $(f_{i})_{i\in \mathbb {N} }\,$ är integrerbara funktioner för alla $i\in \mathbb {N}$ , så att det finns

\lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}

.

Med andra ord är en konvergenssats ett tillräckligt villkor för att man ska kunna byta ordning på gränsvärde och integral.

Monotona konvergenssatsen: om $0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \ldots$ så existerar gränsvärdet $\lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}$ och

\int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu =\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu

.

Dominerade konvergenssatsen: om det finns en funktion $g$ som är integrerbar så att $|f_{i}|\leq g$ för alla $i\in \mathbb {N}$ nästan överallt och $\lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}(x)$ existerar så är

\int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu =\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu

.

Begränsade konvergenssatsen: om $\mu (X)<\infty$ och $|f_{i}|\leq C\,$ för alla $i\in \mathbb {N}$ var $C<\infty$ så är

\int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu =\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu .

Fatous lemma: om $(f_{i})_{i\in \mathbb {N} }\,$ är mätbara funktioner så gäller att

\int \liminf _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu \leq \liminf _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu

och

\int \limsup _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu \geq \limsup _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu

.

Sigma-additivitet

Måttintegralen av icke-negativa funktioner är sigma-additiv över mängder. Det vill säga om $f\geq 0\,$ och $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ är uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i ${\mathcal {F}}$ så är

\int _{\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}f\,d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }\int _{A_{i}}f\,d\mu .

Detta betyder också att funktionen $A\mapsto \int _{A}f\,$ , där $A\in {\mathcal {F}}$ , är ett mått eftersom integralen över tomma mängden är noll.

Måttintegralen är också sigma-additiv med avseende på icke-negativa funktioner. Den här egenskapen kallas Beppo Levis sats: om $f_{k}\geq 0$ är uppräknelig sekvens av mätbara funktioner så är