Wielomian, inaczej suma algebraiczna^{[potrzebny przypis]} – wyrażenie algebraiczne będące sumą jednomianów^[1]; używane w różnych działach matematyki; przykładowo:

• w analizie matematycznej pomocne jest przedstawienie funkcji danego rodzaju w postaci ciągu wielomianów (bądź szeregu);
• w algebrze są one centralnym punktem zainteresowań w teorii Galois, a stąd służą w geometrii jako środek dowodowy przy wykazywaniu konstruowalności różnych obiektów. Służą też kodowaniu własności rozmaitych obiektów (np. wielomian charakterystyczny przekształcenia liniowego).

Niech będzie dowolną liczbą naturalną, tj. nieujemną liczbą całkowitą: Wtedy wielomianem zmiennej nazywa się każde wyrażenie algebraiczne postaci^[2]:

gdzie Zmienne nazywa się współczynnikami tego wielomianu^[1]. Mogą to być liczby rzeczywiste, a w algebrze abstrakcyjnej rozważa się też współczynniki z dowolnego innego ciała lub szerzej pierścienia przemiennego^[1]. Wielomian nazywa się całkowitym, wymiernym, rzeczywistym lub zespolonym w zależności od zbioru, z którego pochodzą jego współczynniki^{[potrzebny przypis]}. Zwyczajowo wielomian składający się z jednego wyrazu nazywa się jednomianem, z dwóch – dwumianem, a trzech – trójmianem.

Liczbę nazywa się stopniem wielomianu^[1]. W szczególności niezerowa stała to wielomian stopnia zerowego. Dla wielomianu zerowego, czyli składającego się z jednego wyrazu wolnego równego zeru, nie określa się stopnia lub przyjmuje się, że wynosi on ^{[a][potrzebny przypis]}. Często wielomiany, których stopień wynosi nazywa się odpowiednio: stałym, liniowym, kwadratowym, sześciennym (związane jest to z własnościami funkcji wielomianowych z nimi skojarzonymi, zob. dalej).

Wielomian jest asymptotycznie dodatni, jeśli współczynnik przy wyrazie jest dodatni. Jeśli współczynnik przy wyrazie jest ujemny, wielomian jest asymptotycznie ujemny^[2].

Niezerowy wyraz bez zmiennych ma stopień 0 i nazywany jest wyrazem wolnym^[3].

Stopniem wyrazu (niezerowego) nazywa się sumę stopni wszystkich zmiennych tego wyrazu. Wielomian nazywa się jednorodnym, jeśli wszystkie jego wyrazy są tego samego stopnia^[4]. Stopniem wielomianu (niezerowego) nazywa się największy stopień wyrazu i oznacza symbolem ^[b]. Jeżeli istnieje tylko jeden wyraz o najwyższym stopniu, to współczynnik przy nim stojący nazywa się najstarszym lub wiodącym. Wielomian unormowany (bądź moniczny, od ang. monic) to wielomian, którego najstarszy współczynnik jest równy jedności.

Dla niezerowych wielomianów zachodzą zależności:

^[c].

Wyrażenie

jest wyrazem. Jego współczynnikiem jest zmiennymi są oraz przy czym stopień zmiennej wynosi dwa, zaś zmiennej równy jest jeden. Stopniem całego wyrazu jest suma stopni zmiennych, stąd stopień powyższego wyrazu równy jest 3. Może więc być on traktowany jako jednomian, a zatem i wielomian.

Wielomian jest sumą wyrazów. Następujące wyrażenie jest wielomianem:

Zwykle wielomian jednej zmiennej przedstawia się w postaci, w której wyrazy wyższego stopnia stoją przed wyrazami niższego. Powyższy wielomian składa się z trzech wyrazów, jest więc trójmianem: pierwszy z nich jest drugiego stopnia, drugi – pierwszego stopnia, a trzeci ma stopień zerowy. Pierwszy wyraz, który zawiera zmienną o wykładniku ma współczynnik 3. Napis oznacza a więc współczynnikiem środkowego wyrazu jest nie zaś Trzeci wyraz jest wolny. Ponieważ stopień niezerowego wielomianu dany jest jako największy ze wszystkich stopni wyrazów, to powyższy wielomian ma stopień równy dwa.

Ogólnie każde wyrażenie, które można przekształcić w wielomian za pomocą podstawowych własności działań (przemienności, łączności i rozdzielności) uważane jest za wielomian. Przykładowo wyrażenie jest wielomianem, ponieważ można je przekształcić do postaci Podobnie

uważane jest za poprawny wyraz wielomianu. Chociaż zawiera dzielenie, to jest ono równoważne gdzie jest stałą, może więc pełnić rolę współczynnika. W ogólności jednak dzielenie przez wyrażenie zawierające zmienną nie tworzy wielomianu. Na przykład

nie jest wielomianem, podobnie

gdyż ma wykładnik zawierający zmienną.

Ponieważ odejmowanie może być traktowane jak dodawanie liczby przeciwnej, a potęgowanie o naturalnym wykładniku jako wielokrotne mnożenie, wielomiany mogą być tworzone ze stałych i zmiennych wyłącznie za pomocą dwóch działań: dodawania i mnożenia.

Każdy wielomian można przekształcić do postaci beznawiasowej wykonując wszystkie możliwe działania na wyrażeniach algebraicznych, nazywana jest ona czasem postacią kanoniczną. Każdy wielomian jednej zmiennej jest równoważny z wielomianem postaci:

Wartością wielomianu nazywa się wartość otrzymaną po podstawieniu danej liczby w miejsce zmiennej (lub tylu liczb w miejsce zmiennych ile ich jest w przypadku wielomianów wielu zmiennych) w wielomianie i wykonanie wszystkich dodawań i mnożeń w wielomianie (tzw. ewaluacja).

Przyporządkowanie każdej liczbie odpowiadającej jej wartości wielomianu jest pewną funkcją. Oznacza to, że dowolny wielomian wyznacza pewną funkcję zwaną funkcją wielomianową. W skończonych ciałach jednej funkcji wielomianowej może odpowiadać więcej niż jeden wielomian^[d]. Np. w pierścieniu wielomianów wielomiany wyznaczają tę samą funkcję wielomianową.

Analogicznie do definicji wielomianu jako sumy algebraicznej, funkcja jednej zmiennej nazywana jest funkcją wielomianową, jeżeli:

co w skrócie można zapisać w postaci

dla wszystkich argumentów gdzie jest liczbą naturalną, a są stałymi współczynnikami. Niekiedy obliczenie wartości wielomianu można przeprowadzić efektywniej za pomocą tzw. schematu Hornera:

Przykładowo funkcja ze zbioru liczb rzeczywistych w siebie zdefiniowana wzorem

jest jednoargumentową funkcją wielomianową. Można również zdefiniować wieloargumentowe funkcje wielomianowe za pomocą wielomianów wielu zmiennych, np.

Do najważniejszych, a zarazem najprostszych funkcji wielomianowych zalicza się funkcję stałą, funkcję liniową, funkcję kwadratową (nazywaną popularnie trójmianem kwadratowym). Funkcje wielomianowe są ważną klasą funkcji gładkich. W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie^[e]. Jednak w algebrze bywa to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z₂ wielomiany i definiują te same funkcje, gdyż oraz

Równanie wielomianowe to równanie, w którym przyrównywane są dwa wielomiany. Wielomiany uważa się za równe, jeżeli mają one równe współczynniki przy odpowiadających sobie wyrazach. Przykładem równania może być

W przypadku równań wielomianowych zmienna uważana jest za niewiadomą, a zadaniem jest znalezienie wszystkich możliwych wartości dla których obie strony równania przyjmują tę samą wartość (w ogólności może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie). Równanie wielomianowe może być przeciwstawione tożsamościom wielomianowym, takim jak gdzie obie strony przedstawiają ten sam wielomian pod różnymi postaciami, dlatego też jakiekolwiek obliczenie wartości obu stron zawsze da równość.

Równanie, w którym wielomian jednej zmiennej jest przyrównywany do zera, nazywa się równaniem algebraicznym. Przykładem może być powyższe równanie wielomianowe. W strukturach uporządkowanych, takich jak liczby rzeczywiste, czy wymierne, ale nie zespolone, można również rozpatrywać nierówności algebraiczne.

• Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem.
• Pochodna wielomianu jest wielomianem

  

• Funkcja pierwotna (całka) wielomianu jest wielomianem

  

Dodawanie i mnożenie wielomianów zapisanych w postaci uporządkowanej można wykonywać w postaci analogicznej do dodawania i mnożenia liczb w pozycyjnym systemie liczbowym. Przykład dodawania dwóch wielomianów:

Przykład mnożenia dwóch wielomianów:

Iloraz dwóch wielomianów nie musi być wielomianem, jednak każdy wielomian można przedstawić w postaci

gdzie są wielomianami, przy czym stopień wielomianu jest mniejszy niż stopień i wielomiany oraz są jednoznacznie wyznaczone.

Operacja ta jest równoważna dzieleniu wielomianu przez z resztą. Jeżeli reszta jest wielomianem zerowym, to:

• mówi się, że wielomian jest podzielny przez ^[5];
• nazywa się dzielnikiem wielomianu

Algorytm dzielenia wielomianów z resztą jest analogiczny do dzielenia liczb całkowitych z resztą. Algorytmem, który zakończy się z całą pewnością, jest algorytm Euklidesa, bywa on również wykorzystywany do wyznaczania największego wspólnego dzielnika, dwóch wielomianów, czyli wielomianu jak najwyższego stopnia, który dzieli oba z nich; wyznaczony jest w tym przypadku z dokładnością do stałej^[f].

Twierdzenie Bézouta mówi, że jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielny przez Stąd w przypadku dzielenia przez dwumian postaci często stosuje się również schemat Hornera.

Iloraz wielomianów nazywany jest wyrażeniem wymiernym, zaś funkcję go realizującą nazywa się funkcją wymierną. Oto przykład

Wyrażenia wymierne (funkcje wymierne) pełnią względem wielomianów (funkcji wielomianowych) rolę podobną do liczb wymiernych względem liczb całkowitych.

Wielomian jest podzielny przez jego ilorazem jest

Pierwiastek wielomianu to taka liczba dla której dwumian dzieli bez reszty wielomian Miejscem zerowym funkcji wielomianowej nazywa się taką wartość zmiennej (lub wartości zmiennych w przypadku wielomianu wielu zmiennych), dla której wartość funkcji wielomianowej wynosi 0, innymi słowy jest to rozwiązanie równania algebraicznego. Zbiór miejsc zerowych funkcji wielomianowej pokrywa się ze zbiorem pierwiastków odpowiadającego jej wielomianu, o czym mówi twierdzenie Bézouta.

Stopniem równania algebraicznego nazywa się stopień wielomianu niezerowego. Istnieją wzory pozwalające rozwiązać każde równanie stopnia pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego. Udowodniono, że efektywne znalezienie rozwiązań równań wyższych stopni przez wykorzystanie podstawowych działań arytmetycznych wraz z pierwiastkowaniem na ogół nie jest możliwe (twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Krotnością pierwiastka wielomianu nazywa się największą liczbę naturalną taką, że wielomian dzieli się bez reszty przez wielomian Jeżeli pierwiastek ma krotność równą co najmniej 2, to zwykle nazywa się go wielokrotnym (dwu-, trzy-, cztero-, pięciokrotnym itd.), jeżeli wynosi ona 1, nazywa się go jednokrotnym.

Jeżeli jest (co najmniej) dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu to jest także pierwiastkiem pochodnej wielomianu Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe^{[potrzebny przypis]}.

Wszystkie wielomiany jednej zmiennej o rzeczywistych lub zespolonych współczynnikach mogą być przedstawione w postaci iloczynu zespolonych wielomianów liniowych:

gdzie są pierwiastkami wielomianu. Liczba iloczynów jest równa sumie krotności wszystkich pierwiastków, co wynika z zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta.

Wielomian rzeczywisty jednej zmiennej można rozłożyć na iloczyn wielomianów rzeczywistych co najwyżej drugiego stopnia. Czynniki nieliniowe mają wtedy postać przy czym Każdy taki czynnik odpowiada dwóm sprzężonym pierwiastkom zespolonym. Nie istnieje podobna reguła dla wielomianów wymiernych.

Rozkład na czynniki przeprowadza się zwykle jednym z następujących sposobów:

• za pomocą wzorów skróconego mnożenia,
• znajdując pierwiastek i wykorzystując twierdzenie Bézouta;
• wykorzystując wzory Kroneckera i Hermite’a (dla dowolnych wielomianów), bądź ich uogólnienia dane przez Kleina.

Przykład

Wielomian

można zapisać w postaci

stąd jest pierwiastkiem dwukrotnym, zaś pierwiastkiem jednokrotnym tego wielomianu.

Oprócz rozkładu na czynniki istnieje szereg metod ułatwiających wyznaczanie pierwiastków danego wielomianu. Niżej, tam gdzie wspomina się o liczbie pierwiastków, stosowana będzie konwencja mówiąca, iż równa jest ona sumie krotności wszystkich pierwiastków wielomianu.

• Zasadnicze twierdzenie algebry: każdy wielomian zespolony stopnia ma pierwiastek zespolony. Wynika z tego, że każdy wielomian zespolony ma dokładnie pierwiastków zespolonych.
• Pierwiastki zespolone wielomianu rzeczywistego występują jako pary liczb wzajemnie sprzężonych.
• Wielomian rzeczywisty stopnia ma pierwiastków rzeczywistych lub o parzystą liczbę mniej; w szczególności, wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego zawsze ma pierwiastek rzeczywisty.
• Twierdzenie Sturma pozwala wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu rzeczywistego w przedziale
• Twierdzenie Hurwitza pozwala rozstrzygnąć, czy wszystkie pierwiastki wielomianu rzeczywistego leżą w lewej półpłaszczyźnie zespolonej.
• Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu całkowitego: jeżeli liczba całkowita jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego o niezerowym wyrazie wolnym, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego^[g].
• Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego: jeżeli ułamek nieskracalny jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego, to jest dzielnikiem wyrazu wolnego oraz jest dzielnikiem współczynnika wiodącego^[h].
• Wzory Viète’a łączą pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami.
• Dla dowolnego wielomianu wielomian jest wielomianem mającym te same pierwiastki co wyjściowy, lecz wszystkie są jednokrotne.
• Rugownik dwóch wielomianów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy mają one wspólny pierwiastek.
• Reguła Kartezjusza: liczba dodatnich pierwiastków wielomianu jest równa liczbie zmian znaku pomiędzy kolejnymi niezerowymi współczynnikami lub też mniejsza od niej o wielokrotność liczby 2. Zamieniając na można oszacować liczbę ujemnych pierwiastków; przykładowo wielomian

  

ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni – zmiana znaku występuje przy przejściu od współczynnika przy drugim wyrazie do współczynnika przy trzecim.

W prostokątnym układzie współrzędnych:

• Wykres przecina on pionową oś w punkcie gdzie to wyraz wolny tego wielomianu;
• Wielomian zerowy i wielomian stopnia zerowego posiadają wykres będący prostą równoległą do poziomej osi;
• Wykresem wielomianu stopnia pierwszego jest prosta o współczynniku kierunkowym równym najstarszemu współczynnikowi wielomianu;
• Wykresem wielomianu stopnia drugiego lub wyższego jest krzywa ciągła, niebędąca prostą. Wykresem wielomianu stopnia drugiego jest parabola.
• W odciętej, gdzie pierwiastek wielomianu jest parzystokrotny, krzywa jest styczna do poziomej osi. W przeciwnym przypadku, krzywa przecina poziomą oś układu współrzędnych.

Wykresy wielomianów można badać używając metod analizy matematycznej (przecięcia z osiami, punkty przegięcia, wypukłość, zachowanie w nieskończoności itd.)

Wielomiany ze względu na swoje „silne” własności (ciągłość, różniczkowalność) odgrywają ważną rolę w analizie matematycznej.

Wielomiany służą przybliżaniu (aproksymacji) funkcji. Do ważniejszych wyników w tej dziedzinie należą:

• Twierdzenie Weierstrassa: każdą funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można z dowolną dokładnością przybliżać wielomianami.
• Układy wielomianów ortogonalnych takie jak wielomiany Czebyszewa i Legendre’a.

Mając dany dowolny -elementowy zbiór punktów w którym są parami różne, istnieje wielomian stopnia co najwyżej którego wykres przechodzi przez te punkty. Zagadnienie znalezienia tego wielomianu nazywa się interpolacją wielomianową. Interpolacja może służyć do przybliżania funkcji wielomianami.

Wielomian interpolacyjny istnieje dokładnie jeden. W szczególności wynika stąd, że jeśli dwa wielomiany stopnia nie większego od przyjmują takie same wartości w punktach to są równe.

Do interpolowania można używać postaci Lagrange’a i postaci Newtona.

W ujęciu algebry liniowej każdy wielomian jest kombinacją liniową funkcji potęgowych postaci gdzie Zbiór wielomianów rzeczywistych lub urojonych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich funkcji określonych odpowiednio na lub Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa mówi, że przestrzeń wielomianów jest zbiorem gęstym w przestrzeni Banacha z normą supremum.

Ważnym obiektem związanym z pojęciami macierzy oraz przekształcenia liniowego jest ich wielomian charakterystyczny.

Naiwny algorytm obliczenia wartości wielomianu w punkcie wymaga mnożeń (zob. asymptotyczne tempo wzrostu). Zapisując wielomian w postaci:

potrzebny czas skraca się do Powyższy sposób obliczania, nazywany schematem Hornera, może służyć również do szybkiego dzielenia wielomianu przez dwumian Po znalezieniu pierwiastka równania można dzięki temu szybko obniżyć jego stopień.

Naiwny algorytm mnożenia dwóch wielomianów stopnia wymaga czasu Za pomocą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) czas ten można zmniejszyć do Mówiąc w uproszczeniu, algorytm mnożenia wpierw przedstawia czynniki za pomocą listy ich wartości w zespolonych pierwiastkach z 1 (ewaluacja), dokonuje mnożenia i powraca do pierwotnej postaci (interpolacja).

Zniesienie ograniczenia dotyczącego liczby wyrazów prowadzi do pojęcia szeregu potęgowego. Wiele ważnych funkcji daje się rozwinąć w szereg potęgowy (często ich istotność wynika właśnie z tego faktu), co ułatwia badanie ich własności. Przykładowo funkcja wykładnicza ma rozwinięcie:

Każdy wielomian będący wynikiem wzięcia pewnej skończonej liczby (zwykle początkowych) wyrazów tej sumy jest przybliżeniem funkcji. Rozwijanie funkcji w szeregi jest szczególnie ważne w przypadku funkcji, które nie są elementarne (zob. funkcje specjalne).

Inną możliwością jest zdefiniowanie wielomianów jako skończonych napisów formalnych, w których współczynniki wzięte są z dowolnego pierścienia. Tego typu napisy dla porządnych pierścieni umożliwiają nawet uprawianie analizy, gdzie wiele pojęć zdefiniowanych jest także formalnie (pochodna, pierwotna wielomianu).

Kolejnym uogólnieniem jest szereg formalny będący połączeniem dwóch powyższych możliwości.

Pójściem w innym kierunku jest przyzwolenie na wyrazy o wykładnikach całkowitych, a nie tylko naturalnych – wielomiany takie nazywa się wielomianami Laurenta. Rozszerzenie wielomianów Laurenta w sposób podobny do rozszerzenia zwykłych wielomianów do szeregów potęgowych nazywa się szeregiem Laurenta.

• wielomiany trygonometryczne

• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974. Brak numerów stron w książce
• Wielomiany i FFT. W: Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Wprowadzenie do algorytmów. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2005. ISBN 83-204-3149-2. Brak numerów stron w książce
• Małgorzata Dobrowolska, Marcin Karpiński, Jacek Lech: Matematyka II: podręcznik dla liceum i technikum. Gdańsk: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, 2008, s. 39.

Polskojęzyczne

• Artykuły na Zintegrowanej Platformie Edukacyjnej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-23]:
  • Wielomiany;
  • Michał Niedźwiedź, Wielomian jednej zmiennej;
  • Michał Niedźwiedź, Wielomian wielu zmiennych.
• Wielomiany, serwis „Uczę się”, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), smurf.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-05-23].
• Algebra – wprowadzenie do wielomianów, kanał Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-05-23].
• Wiktor Bartol, Wielomiany – o pierwiastkach i nie tylko, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 15 września 2017 [dostęp 2024-09-04].
• Paweł Lubowiecki, Liczby zespolone cz. VII. Wielomiany, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polynomial, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Homogeneous Polynomial, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-09-16].
• Polynomial (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2021-03-12].