Twierdzenie o zbieżności średnich
Twierdzenie o zbieżności średnich – twierdzenie analizy matematycznej pozwalające stwierdzić zbieżność pewnych ciągów i wyznaczyć ich granice.
Twierdzenie
Jeśli ciąg ma granicę (właściwą lub niewłaściwą), to granica ciągu średnich arytmetycznych istnieje i jest jej równa.
Jeśli ponadto dla każdego n, to również ciągi średnich geometrycznych i harmonicznych mają tę samą granicę
![{\displaystyle G_{n}={\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62842138eaa690a0fb0cf12e9c23cc5409b54020)
Dowód
Korzystając z twierdzenia Stolza dla ciągów i otrzymujemy:
- I.
- II.
![{\displaystyle \left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)=\left({\frac {c_{n}}{1}}\right){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\pm \infty \Rightarrow \left({\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}}{n}}\right)=\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\pm \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d535982ed03caa606f2e72e46f2542d4f83ddd07)
Dla średnich geometrycznych:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}=\lim _{n\to \infty }\exp {{\frac {1}{n}}\ln {\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}=\lim _{n\to \infty }\exp {{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}\ln {|c_{k}|}}{n}}=\exp {\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}\ln {|c_{k}|}}{n}}}=\exp {\lim _{n\to \infty }\ln {|c_{n}|}}}=\exp {\ln {\lim _{n\to \infty }c_{n}}}=\lim _{n\to \infty }c_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1164733bd55ede4d125cd5a545c82dbe30af65)
Czwarta równość wynika z udowodnionego wyżej twierdzenia, a pozostałe z własności funkcji wykładniczej i logarytmu, w szczególności ich ciągłości.
Dla średnich harmonicznych:
Druga równość wynika z twierdzenia dla średnich arytmetycznych.
Zastosowania
- Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, bo n jest taki.
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0486c2f8eed6938ed9579d0677a6dc71f49ecf)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{1\prod _{k=1}^{n-1}{\frac {k+1}{k}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeac86b654c47da140d0a52649429125243da010)
| pojęcia definiujące |
| ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| typy ciągów |
| ||||||||
| przykłady ciągów liczb naturalnych | |||||||||
| inne przykłady ciągów liczb | |||||||||
| twierdzenia |
| ||||||||
| powiązane pojęcia |
