Tetracja

Tetracja (znana też jako iterowane potęgowanie, superpotęgowanie, wieża wykładnicza lub hiper-4) – działanie dwuargumentowe będące wielokrotnym potęgowaniem elementu przez siebie.

Słowo tetracja wymyślił angielski matematyk Reuben Louis Goodstein łącząc tetra- (cztery) i iteracja. W praktyce tetracja jest używana do zapisu bardzo dużych liczb. Poniżej przedstawione są pierwsze cztery hiperoperatory:

dodawanie
$a+n=a+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}$
$a$ powiększone o $1$ $n$ razy.
mnożenie
$a\cdot n=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}$
$a$ dodane do siebie $n$ razy.
potęgowanie
$a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n}$
$a$ pomnożone przez siebie $n$ razy.
tetracja
$^{n}a=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$
$a$ potęgowane przez siebie $n$ razy.

gdzie każda operacja jest zdefiniowana przez iterowanie poprzedniej.

W odróżnieniu od pierwszych trzech działań dla tetracji nie ma uogólnienia wartości $n$ na liczby wymierne (a tym bardziej na rzeczywiste).

Definicja

Dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geqslant 0$ definiujemy $^{n}a$ jako:

{^{n}a}={\begin{cases}1&{\mbox{ jeśli }}n=0\\a^{(^{n-1}a)}&{\mbox{ jeśli }}n>0\end{cases}}

Iterowane potęgowanie

Jak widać z definicji, kiedy wyliczamy tetrację wyrażoną jako „wieża potęgowania”, potęgowanie rozpoczyna się w najgłębszym poziomie (w zapisie na najwyższym poziomie). Innymi słowy:

^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65\,536.

Należy pamiętać, że potęgowanie nie jest łączne, czyli obliczanie wyrażenia w odwrotnej kolejności prowadzi do innego wyniku:

2^{2^{2^{2}}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=256.

Z tego powodu wyrażenia te muszą być obliczane z góry do dołu (lub od prawej do lewej).

Przykłady

W poniższej tabeli większość wartości jest zbyt duża, by je zapisać w notacji naukowej, zastosowano więc iterowany zapis wykładniczy, aby je wyrazić w podstawie 10. Wartości zawierające przecinek dziesiętny są przybliżone.

$x$	$^{2}x$	$^{3}x$	$^{4}x$
1	1	1	1
2	4	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	$\exp _{10}^{3}(1{,}09902)$
4	256	$\exp _{10}^{2}(2{,}18788)$	$\exp _{10}^{3}(2{,}18726)$
5	3125	$\exp _{10}^{2}(3{,}33931)$	$\exp _{10}^{3}(3{,}33928)$
6	46 656	$\exp _{10}^{2}(4{,}55997)$	$\exp _{10}^{3}(4{,}55997)$
7	823 543	$\exp _{10}^{2}(5{,}84259)$	$\exp _{10}^{3}(5{,}84259)$
8	16 777 216	$\exp _{10}^{2}(7{,}18045)$	$\exp _{10}^{3}(7{,}18045)$
9	387 420 489	$\exp _{10}^{2}(8{,}56784)$	$\exp _{10}^{3}(8{,}56784)$
10	10 000 000 000	$\exp _{10}^{3}(1)$	$\exp _{10}^{4}(1)$

Terminologia

Istnieje wiele określeń dla tetracji, z których każdy ma swoje logiczne uzasadnienie, lecz nie stały się powszechne z różnych powodów. Poniżej jest zestawienie każdego terminu z uzasadnieniem za i przeciw.

Termin tetracja, wprowadzony przez Goodsteina w 1947 roku w publikacji Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory^[1] (uogólniające rekursywne reprezentacje podstawowe użyte w twierdzeniu Goodsteina do zastowania w wyższych operacjach), zdobył dominującą pozycję. Także termin ten spopularyzował Rudy Rucker w pracy Infinity and the Mind(inne języki).
Termin superpotęgowanie został opublikowany przez Bromera w Superexponentiation w 1987^[2]. Terminu tego używał wcześniej Ed Nelson w swojej książce Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
Termin hiperpotęgowanie^[3] jest naturalnym złożeniem hiper i potęgowanie, który trafnie opisuje tetrację. Problem tkwi w znaczeniu hiper w odniesieniu do hierachii hiper operatorów. Rozważając hiper operatory, termin hiper odnosi się do wszystkich pozycji, a termin super odnosi się do pozycji 4 lub tetracji. Wobec tych rozważań hiperpotęgowanie jest mylące, gdyż odnosi się tylko do tetracji.
Termin wieża wykładnicza^[4] jest używany sporadycznie, w postaci „wieża wykładnicza rzędu $n$ ” dla $\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}.$

Tetracja jest często mylona z blisko powiązanymi funkcjami i wyrażeniami. To dlatego, że wiele terminów przez nie używane, może być zastosowane w tetracji. Oto kilka powiązanych terminów:

Forma	Terminologia
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}$	Tetracja
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}$	Iterowana funkcja wykładnicza
$a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}$	Zagnieżdżone potęgowanie (także wieże)
$a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$	Nieskończone potęgowanie (także wieże)

W pierwszym wyrażeniu $a$ jest podstawą, a ilość pojawiania się $a$ jest wysokością. W trzecim wyrażeniu, $n$ jest wysokością, lecz każda podstawa jest inna.

Należy zachować ostrożność przy powoływaniu się na iterowane potęgowanie, jako że taka forma zapisu wyrażeń nie jest jednoznaczna.

Notacja

Sposoby zapisu tetracji (niektóre z nich pozwalają nawet na wyższy poziom iteracji) obejmują:

Nazwa	Forma	Opis
Zapis standardowy	${}^{n}a$	Używany przez Maurera [1901] i Goodsteina [1947]; Zapis spopularyzował Rudy Rucker w książce Infinity and the Mind(inne języki).
Notacja strzałkowa Knutha	$a{\uparrow \uparrow }n$	Pozwala na rozszerzenie przez dodanie większej ilości strzałek lub, jeszcze silniej, indeksowanych strzałek.
Zapis łańcuchowy strzałek Conwaya	$a\to n\to 2$	Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 2 (odpowiednik rozszerzenia powyżej), lecz także jeszcze silniej, przez wydłużenie łańcucha strzałek.
Funkcja Ackermanna	${}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3$	Pozwala w szczególnym przypadku $a=2$ na zapis z punktu widzenia funkcji Ackermanna.
Iterowany zapis wykładniczy	${}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)$	Pozwala na łatwe rozszerzenie do iterowanych potęg dla wartości początkowych innych niż 1.
Zapis Hooshmand^[5]	$\operatorname {uxp} _{a}n,\,a^{\frac {n}{}}$
Zapis hiper operator	$a^{(4)}n,\,\operatorname {hyper} _{4}(a,n)$	Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 4; co daje rodziny hiper operacji.
Zapis ASCII	`a^^n`	Ponieważ strzałka jest używana identycznie jak daszek (`^`), operator tetracji może zostać zapisany jako (`^^`).

Jeden z zapisów powyżej używa iterowanego zapisu wykładniczego, który w ogólności jest zdefiniowana następująco:

\exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}

gdzie „

a

” występuje n razy.

Nie ma wielu zapisów dla iterowanego potęgowania, ale oto kilka z nich:

Nazwa	Forma	Opis
Standardowy	$\exp _{a}^{n}(x)$	Euler stworzył zapis $\exp _{a}(x)=a^{x},$ a iteracyjny zapis $f^{n}(x)$ istnieje równie długo.
Zapis strzałkowy Knutha	$(a{\uparrow })^{n}(x)$	Pozwala na superpotęgowanie i funkcje superwykładnicze przez zwiększanie liczby strzałek.
Zapis Ioannis Galidakisa	${}^{n}(a,x)$	Pozwala na duże wyrażenia w podstawie^[6].
ASCII (pomocnicze)	`a^^n@x`	W oparciu o pogląd, że powtórzony wykładnik jest pomocniczą tetracją.
ASCII (standard)	`exp_a^n(x)`	Na podstawie standardowego zapisu.

Zobacz też

Przypisy

↑ R.L. Goodstein. Transfinite ordinals in recursive number theory. „Journal of Symbolic Logic”. 12 (4), s. 123–129, 1947. DOI: 10.2307/2266486.
↑ N.N. Bromer N.N., Superexponentiation, „Mathematics Magazine”, 60 (3), 1987, s. 169–174, JSTOR: 2689566 .
↑ J.F. MacDonnell. Somecritical points of the hyperpower function $x^{x^{\dots }}$ . „International Journal of Mathematical Education”. 20 (2), s. 297–305, 1989. MR 994348.
↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Power Tower, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
↑ M.H. Hooshmand. Ultra power and ultra exponential functions. „Integral Transforms and Special Functions”. 17 (8), s. 549–558, 2006. DOI: 10.1080/10652460500422247.
↑ Ioannis Galidakis: On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals. [dostęp 2012-09-12]. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-06-08)]. (ang.).

Linki zewnętrzne

[1] R.L. Goodstein. Transfinite ordinals in recursive number theory. „Journal of Symbolic Logic”. 12 (4), s. 123–129, 1947. DOI: 10.2307/2266486.

[2] N.N. Bromer N.N., Superexponentiation, „Mathematics Magazine”, 60 (3), 1987, s. 169–174, JSTOR: 2689566 .

[3] J.F. MacDonnell. Somecritical points of the hyperpower function $x^{x^{\dots }}$ . „International Journal of Mathematical Education”. 20 (2), s. 297–305, 1989. MR 994348.

[4] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Power Tower, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

[uxp-5] M.H. Hooshmand. Ultra power and ultra exponential functions. „Integral Transforms and Special Functions”. 17 (8), s. 549–558, 2006. DOI: 10.1080/10652460500422247.

[6] Ioannis Galidakis: On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals. [dostęp 2012-09-12]. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-06-08)]. (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: