Równanie różniczkowe cząstkowe

Równanie różniczkowe cząstkowe rzędu $k\geqslant 1$ – równanie funkcyjne, które zawiera funkcję niewiadomą $u(x_{1},x_{2},\dots )$ zmiennych $x_{1},x_{2},\dots$ (co najmniej dwóch) oraz pochodne cząstkowe funkcji niewiadomej $u$ względem tych zmiennych rzędu nie większego niż $k.$ ^[1].

Np. równanie Laplace’a jest równaniem cząstkowym rzędu $k=2$ trzech zmiennych $x_{1},x_{2},x_{3},$ gdyż zawiera drugie pochodne po tych zmiennych

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{3}^{2}}}=0.

Przykładowymi rozwiązaniami tego równania są funkcje dane wzorami

u(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\sqrt {x_{1}^{2}-2x_{1}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+1}}}

(w zbiorze $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}$ ) lub

u(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}

(w całej przestrzeni).

Historia

Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki.

Równania hiperboliczne. Zagadnienie początkowe

Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. d’Alemberta. Było to równanie typu hiperbolicznego – według dzisiejszej nomenklatury – i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L. Euler (1707–1783) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Później, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernoulli przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fourier (1750–1830), tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych.

A.L. Cauchy sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj zagadnieniem Cauchy’ego.

Równania eliptyczne. Teoria potencjału Greena

P. Laplace zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania Laplace’a. S.D. Poisson rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyjnego, w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś równaniem Poissona. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych.

W początkach XIX wieku G. Green stworzył ogólne podstawy teorii potencjału, rozwijając teorię elektryczności i magnetyzmu.

Równania paraboliczne

Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowadziły do powstania klasy równań, które nazywa się dzisiaj równaniami parabolicznymi.

Rozwój teorii równań różniczkowych

Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann, H. Poincare, E. Picard, J. Hadamard, E. Goursat, a z polskich matematyków wymienić należy W. Pogorzelskiego oraz M. Krzyżańskiego, autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym. Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów matematyki, zwłaszcza analizy funkcjonalnej. Jednak nadal znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk fizycznych, które pierwotnie opisywały lub uczonych, którzy zajmowali się opisem matematycznym zjawisk fizycznych.

Ścisła definicja

Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu $k\geqslant 1$ nazywa się równanie postaci:

F\left[x,u(x),Du(x),D^{2}u(x),\dots ,D^{k-1}u(x),D^{k}u(x)\right]=0,

gdzie:

$U$ – otwarty podzbiór $n$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n},$
$x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in U,$
$F\colon \mathbb {R} ^{n^{k}}\times \mathbb {R} ^{n^{k-1}}\times \ldots \times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times U\to \mathbb {R}$ – dana funkcja,
$u\colon U\to \mathbb {R}$ – funkcja niewiadoma,
$D^{l}u(x):=\left\{D^{\alpha }u(x)={\frac {\partial ^{|\alpha |}u(x)}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\colon |\alpha |=l\right\}$ – zbiór wszystkich możliwych pochodnych cząstkowych rzędu $l\leqslant k,$ $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})$ to $n$ -wymiarowy wielowskaźnik.

Całki pierwsze układu równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu

Przypomnijmy następującą definicję: Całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych

{\frac {dx_{k}}{dx_{1}}}={\frac {X_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})}{X_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})}}

dla

2\leqslant k\leqslant n

(1)

nazywa się funkcje powstałe z całkowania równań w powyższym układzie

c_{k}=\psi _{k}(x_{1},\dots ,x_{n})

dla

1\leqslant k\leqslant n-1.

Jeśli funkcje $X_{1},\dots ,X_{n}$ są klasy $C^{1}$ w pewnym obszarze $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ oraz $X_{1}\neq 0,$ to każde rozwiązanie $u(x_{1},\dots ,x_{n})$ równania

X_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}){\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+\ldots +X_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}){\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}=0

można zapisać w postaci

u(x_{1},\dots ,x_{n})=\Phi (\psi _{1},\dots ,\psi _{n-1}),

gdzie:

$\psi _{1},\dots ,\psi _{n-1}$ – całki pierwsze układu (1),
$\Psi$ – dowolna funkcja klasy $C^{1}$ względem $(n-1)$ -zmiennych.

Liniowe równania różniczkowe cząstkowe

W zagadnieniach, gdzie zjawiska zależą od czasu, wprowadza się osobno oznaczenia dla zmiennej czasowej $t(t\geqslant 0)$ oraz na zmienne przestrzenne $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in U,$ gdzie $U$ jest otwartym podzbiorem $\mathbb {R} ^{n}.$ Wtedy szukana funkcja zależy od zmiennych przestrzennych i czasu, $u=u(t,x_{1},\dots ,x_{n}).$

Liniowe równanie transportu: $u_{t}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}=0.$
Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji): $u_{t}-\Delta u=0.$
Równanie Schrödingera: $i\,u_{t}+\Delta u=0,$ gdzie $i$ – jednostka urojona.
Równanie falowe: $u_{tt}-\Delta u=0.$
Równanie Laplace’a: $\Delta u:=\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}=0$ – równanie opisujące zjawiska niezależne od czasu (stacjonarne).

Nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe

Nieliniowe równanie Poissona: $\Delta u=-f(u).$
Równanie Hamiltona-Jacobiego: $u_{t}+H(Du,x)=0,$ gdzie $Du:=D_{x}u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})$ oznacza gradient funkcji $u$ względem zmiennych przestrzennych $x=(x_{1},\dots ,x_{n}).$
Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: $u_{t}-\Delta u=f(u).$

Zobacz też

równanie różniczkowe zwyczajne

Przypisy

↑ równania różniczkowe cząstkowe, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01] .

Bibliografia

Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society, 2010. ISBN 978-0-8218-4974-3. (ang.).
David Gilbarg, Neil Sidney Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1977. ISBN 3-540-08007-4. (ang.).
Julian Janus, Józef Myjak: Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych. 2008.
Tomáš Roubíček: Nonlinear Partial Differential Equations with Applications. Basel: Birkhäuser, 2013. DOI: 10.1007/978-3-0348-0513-1. ISBN 978-3-0348-0512-4. (ang.).
Paweł Strzelecki: Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2006. ISBN 978-83-235-0227-2.

Linki zewnętrzne

Równania różniczkowe cząstkowe, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 25 lipca 2017 [dostęp 2024-09-04].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Partial Differential Equation, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].
Differential equation, partial (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
Grant Sanderson, But what is a partial differential equation?, kanał 3blue1brown na YouTube, 21 kwietnia 2019 [dostęp 2021-03-15].

[epwn-1] równania różniczkowe cząstkowe, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01] .

[1]

zwyczajne	Bessela Clairauta Eulera Legendre’a Lotki-Volterry Mathieu oscylatora harmonicznego Riccatiego Bernoulliego zupełne prawo rozpadu naturalnego wzór Bineta
cząstkowe	Poissona Laplace’a przewodnictwa cieplnego falowe Schrödingera Heisenberga Pauliego Kleina-Gordona Diraca Einsteina Hamiltona-Jacobiego Pfaffa równania Cauchy’ego-Riemanna równania Maxwella równania Naviera-Stokesa
metody rozwiązań	Eulera Rungego-Kutty Wrońskian
powiązane pojęcia	warunki początkowe warunki brzegowe Dirichleta zagadnienie Cauchy’ego zagadnienie brzegowe teorii potencjału Dirichleta zagadnienie własne dla operatora Laplace’a
twierdzenia	Peana Picarda
powiązane nauki	analiza matematyczna rzeczywista funkcjonalna harmoniczna zespolona teoria spektralna teoria potencjału algebra liniowa
badacze	Jakob Bernoulli Leonhard Euler Jacopo Riccati Alexis Clairaut Friedrich Wilhelm Bessel Johann Friedrich Pfaff Adrien-Marie Legendre Jacques Philippe Marie Binet Józef Hoene-Wroński Jean le Rond d’Alembert Pierre Simon de Laplace Siméon Denis Poisson Augustin Louis Cauchy Bernhard Riemann Émile Léonard Mathieu William Rowan Hamilton Carl Gustav Jakob Jacobi Giuseppe Peano Charles-Émile Picard Carl David Tolmé Runge Martin Wilhelm Kutta

Fahrer / Team für die Suche eingeben: