Prawo Hooke’a
Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia[1]. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły[2][3]. Stosunek naprężenia wywołanego przyłożeniem siły do powstałego odkształcenia, jest nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.
Omawiana zależność pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nieprzekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności) i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej plastyczności i lepkości.
Ta prawidłowość została sformułowana przez Roberta Hooke’a w 1660 r. w formie ut tensio sic vis (łac. jakie wydłużenie, taka siła) i przekazana w postaci anagramu ceiiinosssttuv[4].
Osiowy stan naprężenia i odkształcenia
Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta[5]. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnik proporcjonalności to moduł Younga E
gdzie:
- – siła rozciągająca,
- – pole przekroju poprzecznego,
- – moduł Younga,
- – wydłużenie pręta,
- – długość początkowa.
W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.
Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:
gdzie:
- – odkształcenie,
- – naprężenie.
Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia
Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego stanu naprężenia w przypadku materiału izotropowego uogólnił w 1822 Augustin Louis Cauchy[2], poniżej podano uogólnioną postać prawa Hooke'a[6], jest ono tu zapisane w postaci układu równań:
- dla naprężeń i odkształceń normalnych (liniowych)
-
![{\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e45ad3383d876e7fa4941d62c9cd14d986286d)
![{\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{z}+\sigma _{x})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfe1ff4c1c99dad199c83b50bc8ce3e00267f66)
![{\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f6a7543f131b19ceff9a4141cb4c15adbd52a1)
- dla naprężeń stycznych i odkształceń postaciowych (kątowych)
-
gdzie:
- – składowe odkształcenia normalnego w punkcie,
- – naprężenie normalne w punkcie,
- – składowe odkształcenia postaciowego w punkcie,
- – naprężenie styczne w punkcie,
- – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,
- – moduł Younga,
- – współczynnik Poissona.
Zapis tensorowy
W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako operator proporcjonalności stosuje się tensor sztywności
gdzie sumowanie odbywa się wg konwencji sumacyjnej Einsteina.
Przypisy
- ↑ Bielajew N.M., Wytrzymałość materiałów, Wyd. MON, Warszawa 1954
- ↑ a b Nawrot, Karolczak i Jaworska 2013 ↓, s. 187.
- ↑ Hooke’a prawo, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29].
- ↑ Michael A. Nielsen, The Future of Science: Building a Better Collective Memory [online].
- ↑ Piechnik S., Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980
- ↑ Maksymilian Tytus Huber, Stereomechanika techniczna, t. I, Warszawa: PZWS, 1951.
Bibliografia
- Alicja Nawrot, Dorota Karolczak, Jadwiga Jaworska: Encyklopedia – fizyka z astronomią. Kraków: GREG, 2013. ISBN 978-83-7517-210-2.