Podprzestrzeń komplementarna
Podprzestrzeń komplementarna – domknięta podprzestrzeń liniowa danej przestrzeni liniowo-topologicznej o tej własności, że istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa iż
tj. oraz Rozkład przestrzeni na sumę prostą domkniętych podprzestrzeni nazywany jest czasami topologiczną sumą prostą. Ponadto podprzestrzeń przestrzeni liniowo-topologicznej jest komplementarna wtedy i tylko wtedy, gdy jest obrazem pewnego ciągłego operatora liniowego spełniającego warunek (operatory idempotentne nazywane są rzutami). Czasami w geometrycznych rozważaniach dotyczących podprzestrzeni komplementarnych przestrzeni Banacha ważna jest norma rzutu na daną podprzestrzeń. Niech oraz będzie przestrzenią Banacha. Mówi się, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni jest -komplementarna, gdy istnieje rzut o normie
Przykłady
- Każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest komplementarna. Wynika stąd, że każda podprzestrzeń kowymiaru skończonego w danej przestrzeni unormowanej jest także komplementarna.
- Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Hilberta jest komplementarna; co więcej, istnieje rzut ortogonalny, którego jest ona obrazem – mówi o tym twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przestrzeń Banacha, której każda domknięta podprzestrzeń jest komplementarna jest izomorficzna z przestrzenią Hilberta[1].
- Twierdzenie Sobczyka mówi, że jeżeli jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz jest jej podprzestrzenią izomorficzną z przestrzenią c0, to jest 2-komplementarna w Stałej 2 nie można poprawić.
- Phillips i Sobczyk pokazali niezależnie[2][3], że żadna podprzestrzeń przestrzeni izomorficzna z nie jest komplementarna.
- W przestrzeniach ℓp dla istnieją podprzestrzenie izomorficzne z które nie są komplementarne[4][5][6].
- Podprzestrzeń komplementarna przestrzeni z bazą Schaudera nie musi mieć bazy Schaudera[7].
- W przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na liczbie porządkowej istnieje podprzestrzeń izomorficzna z która nie jest komplementarna. Można stąd wyprowadzić podobny fakt dla przestrzeni typu gdzie jest zwartą przestrzenią metryczną o tej własności, że nie jest izomorficzne z (w tym wypadku zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z ).
![{\displaystyle C[0,\omega ^{\omega }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b8a43034bc36d58ac9f86e6b77c3c71639b07c)
![{\displaystyle C[0,\omega ^{\omega }],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99ae452d98860dfc1f3c81166f9e30ea47a18d0)
Przypisy
- ↑ J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. On the complemented subspaces problem. „Israel J. Math.”, 19 (1971), s. 263–269.
- ↑ R.S. Phillips, On linear transformations, „Transactions of the American Mathematical Society”, 48 (1940), s. 516–541.
- ↑ A. Sobczyk, Projection of the space (m) on its subspace c0, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 47 (1941), s. 938–947.
- ↑ J. Bourgain, A counterexample to a complementation problem, „Compositio Math”. 43 (1981), s. 133–144.
- ↑ H.P. Rosenthal. On the subspaces of Lp (p > 2) spanned by sequences of independent random variables. „Israel J. Math.” 8 (1970), s. 273–303.
- ↑ G. Bennett, L.E. Dor, V. Goodman, W.B. Johnson, C.M. Newman, On uncomplemented subspaces of Lp, 1 < p < 2, „Israel. Math.” 26 (2) (1977), s. 178–187.
- ↑ S.J. Szarek, A Banach space without a basis which has the bounded approximation property. „Acta Math.” 159 (1987), s. 81–98.