Notacja strzałkowa
Notacja strzałkowa Knutha – metoda zapisywania bardzo dużych liczb wprowadzona przez amerykańskiego matematyka Donalda Knutha w 1976[1]. Podstawowa idea tej metody jest oparta na iterowanym potęgowaniu, w sposób podobny do tego jak potęgowanie jest iterowanym mnożeniem, mnożenie jest iterowanym dodawaniem, a dodawanie jest iterowaną inkrementacją. Celem tej notacji było zapisanie bardzo dużych liczb, których nawet zapisanie w postaci wykładniczej było trudne lub praktycznie niemożliwe do wykonania. Tempo wzrostu w szybko rosnącej hierarchii wynosi
Definicja
Z potęgowaniem jako podstawą:
dla wszystkich liczb całkowitych z
Dodatkowo w sekcji Inne przykłady wykazano, że:
dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych
Dla otrzymamy zwykłe potęgowanie dla tetrację, dla pentację itd. (ang. n-hyperoperation)[2].
Przykłady
Opis notacji
Dla skrócenia zapisu dużą ilość strzałek zastępuje się ich liczbą umieszczoną po prawej stronie strzałki w indeksie górnym:
Konstrukcja
gdzie występuje po prawej stronie równań zawsze dokładnie razy.
Inne przykłady
- a stąd indukcyjnie uzasadniamy, że dla wszystkich
- i stąd indukcyjnie uzasadniamy, że dla wszystkich
Liczba Grahama
Oznaczmy Wtedy itd. Liczbę nazywamy liczbą Grahama.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Eric W. Weisstein, Knuth Up-Arrow Notation, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2016-05-14] (ang.).
- ↑ a b Fabio Caldarola i inni, On the Arithmetic of Knuth’s Powers and Some Computational Results About Their Density, [w:] Yaroslav D. Sergeyev, Dmitri E. Kvasov, Numerical Computations: Theory and Algorithms: Third International Conference, NUMTA 2019, Crotone, Italy, June 15–21, 2019, Revised Selected Papers, Part I, Springer Nature, 13 lutego 2020, s. 382, ISBN 978-3-030-39081-5 [dostęp 2023-03-08] (ang.).