Lemat o π- i λ-układach

Lemat o π- i λ-układach – lemat łączący koncepty π-układu i λ-układu, po raz pierwszy pojawił się w pracach Wacława Sierpińskiego^[1]. Dla potrzeb rachunku prawdopodobieństwa odkrył go ponownie Eugene Dynkin^[2].

Uwaga

Jeśli rodzina ${\mathcal {A}}$ podzbiorów zbioru $\Omega$ jest jednocześnie π-układem i λ-układem podzbiorów zbioru $\Omega ,$ to jest ona σ-ciałem podzbiorów zbioru $\Omega .$

Dowód

Pokażemy, że $\emptyset \in {\mathcal {A}}$
- Ponieważ ${\mathcal {A}}$ jest λ-układem:
- $\Omega \in {\mathcal {A}}$
- oraz $\Omega \subset \Omega \Rightarrow \Omega \setminus \Omega =\emptyset \in {\mathcal {A}}$
Następnie wykażemy, że $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$
- $A\in {\mathcal {A}},\Omega \in {\mathcal {A}}$
- więc z własności λ-układu:
- $A\subset \Omega \Rightarrow \Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$
Pozostaje do pokazania: $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$
- Ustalmy dowolnie $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}$
- Wówczas także (λ-układ): $\Omega \setminus A_{1},\Omega \setminus A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}$
- Korzystając z własności π-układu mamy: $\bigcap \limits _{i=1}^{n}(\Omega \setminus A_{i})\in {\mathcal {A}},n\in \mathbb {N}$
- Ale $\bigcap \limits _{i=1}^{n}(\Omega \setminus A_{i})=\Omega \setminus \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}.$ Wobec tego, również: $\Omega \setminus \left(\Omega \setminus \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}.$
- Zdefiniujmy wstępujący ciąg zbiorów, postaci: $B_{1}=A_{1},B_{2}=A_{1}\cup A_{2},B_{3}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3},\dots$
- Ciąg zbiorów $(B_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest wstępującym ciągiem zbiorów należących do (λ-układu) ${\mathcal {A}}.$ Wobec tego:

\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }B_{i}\in {\mathcal {A}}

Lemat

Jeśli λ-układ ${\mathcal {L}}$ podzbiorów zbioru $\Omega$ zawiera π-układ ${\mathcal {H}},$ to ${\mathcal {L}}$ zawiera $\sigma ({\mathcal {H}}),$ czyli σ-ciało generowane przez ${\mathcal {H}}.$

Dowód

Zdefiniujmy: ${\mathcal {L}}_{0}=\bigcap \{{\mathcal {C}}\subset 2^{\Omega }:{\mathcal {C}}$ jest λ-układem oraz ${\mathcal {H}}\subset {\mathcal {C}}\}$
${\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{0}$
${\mathcal {L}}_{0}$ jest λ-układem
Pokażemy, że ${\mathcal {L}}_{0}$ jest także π-układem:
- Niech ${\mathcal {L}}_{1}:=\{A\subset \Omega :\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {H}}}(A\cap B)\in {\mathcal {L}}_{0}\}$
- ${\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{1}$
- ${\mathcal {L}}_{1}$ jest λ-układem
- Ponieważ ${\mathcal {L}}_{0}$ jest najmniejszym λ-układem zawierającym ${\mathcal {H}}$ mamy: ${\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}_{1}$
- tzn. $\bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {H}}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})\quad (*)$
- Niech ${\mathcal {L}}_{2}:=\{B\subset \Omega :\bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})\}$
- korzystając z $(*)$ otrzymujemy ${\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{2}$
- ${\mathcal {L}}_{2}$ jest λ-układem
- ${\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}_{2}$
- tzn. $\bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {L}}_{0}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})$
${\mathcal {L}}_{0}$ jest więc π-układem
Korzystając z uwagi wnioskujemy, że ${\mathcal {L}}_{0}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $\Omega$ zawierającym π-układ ${\mathcal {H}}$
Wobec tego $\sigma ({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}\quad \Box$

Zobacz też

klasa monotoniczna

Przypisy

↑ Un théorème générale sur les families d’ensemble, Fundamenta Mathematicae 12 (1928), s. 206–210.
↑ Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel, SCRIPT, Warszawa 2004, wyd. III.

Bibliografia

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: Script, 2001. ISBN 83-904564-5-1.

[1] Un théorème générale sur les families d’ensemble, Fundamenta Mathematicae 12 (1928), s. 206–210.

[2] Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel, SCRIPT, Warszawa 2004, wyd. III.

[1]

[2]

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Langbahn Team – Weltmeisterschaft

Lemat o π- i λ-układach

Uwaga

Dowód

Lemat

Dowód

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia