Kula

	Definicja intuicyjna
	Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli).

Kula – uogólnienie pojęcia koła na więcej wymiarów, zdefiniowane dla wszystkich przestrzeni metrycznych.

Definicja formalna

Kula w danej przestrzeni metrycznej $(X,\rho )$ – zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:

{\overline {K}}_{c,r}=\{p:\rho (p,c)\leqslant r\}

dla pewnych $c\in X,\ r>0,$ które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

W wielu źródłach^[2]^[3]^[4] tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta (inaczej kula bez brzegu) i definiowanego następująco:

K_{c,r}=\{p:\rho (p,c)<r\}.

Informacja ogólna

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne $(x,y,z)$ spełniają nierówność:

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leqslant r^{2},

gdzie $(x_{0},y_{0},z_{0})$ są współrzędnymi środka kuli, a $r$ oznacza jej promień, natomiast w układzie współrzędnych sferycznych, dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych:

r(\alpha ,\beta )\leqslant r\;{}

dla

{}\,\alpha \in [-\pi ,\pi ),\beta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].

W $n$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie $(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})$ i promieniu $r$ to zbiór punktów $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ których współrzędne spełniają nierówność:

(x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}.

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni $\mathbb {R} ^{2}$ o metryce Manhattan do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|\leqslant r.

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór $\{G,H,I\}$ – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest $H.$

Związane pojęcia

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej

Objętość $n$ -wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu $r$ dana jest wzorem $V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}\cdot r^{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\pi ^{k}}{k!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k,\\[2ex]\displaystyle {\frac {2^{k}\pi ^{k-1}}{n!!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k-1,\end{cases}}$

„Pole” $(n-1)$ -wymiarowe jej (hiper)powierzchni $S_{n}={\frac {n}{r}}\,V_{n}.$
Objętość 3-wymiarowej kuli: $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\approx 4{,}19\ r^{3}.$ ^[5]
Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli: $S=4\pi r^{2}\approx 12{,}6\ r^{2}.$ ^[5]

W powyższych wzorach $\pi \approx 3{,}14159265$ jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś $\Gamma$ oznacza funkcję gamma. Pomimo że funkcja gamma jest niezdefiniowana dla niedodatnich liczb całkowitych, uogólnione objętości i powierzchnie $n$ -wymiarowych hiperkul to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego $n\in \mathbb {C}$ . Są one zatem zdefiniowane w każdym wymiarze^[6]^[7].

Uwaga: Brzegiem $n$ -wymiarowej kuli jest $(n-1)$ -wymiarowa sfera.

Uogólnienie topologiczne

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też

Przypisy

↑ kula, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-05-19] .
↑ Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000, s. 149. ISBN 83-204-2334-1.
↑ Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 34, 38, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 38.
↑ Witold Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982, s. 20, 21, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 36.
↑ ^a ^b Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 14, ISBN 978-83-940902-1-0 .
↑ SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Novel Recurrence Relations for Volumes and Surfaces of n-Balls, Regular n-Simplices, and n-Orthoplices in Real Dimensions, t. 10, Mathematics, 2022, s. 2212, DOI: 10.3390/math10132212 .
↑ SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Omnidimensional Convex Polytopes, t. 15, Symmetry, 2023, s. 755, DOI: 10.3390/sym15030755 .

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ball, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-01].
Ball (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

[epwn-1] kula, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-05-19] .

[2] Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000, s. 149. ISBN 83-204-2334-1.

[3] Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 34, 38, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 38.

[4] Witold Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982, s. 20, 21, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 36.

[cke-5] Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 14, ISBN 978-83-940902-1-0 .

[Recurrence_2022-6] SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Novel Recurrence Relations for Volumes and Surfaces of n-Balls, Regular n-Simplices, and n-Orthoplices in Real Dimensions, t. 10, Mathematics, 2022, s. 2212, DOI: 10.3390/math10132212 .

[Omnidimensional_2023-7] SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Omnidimensional Convex Polytopes, t. 15, Symmetry, 2023, s. 755, DOI: 10.3390/sym15030755 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: