Kryterium całkowe

Kryterium całkowe (także kryterium całkowe Maclaurina-Cauchy’ego^[1]) – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich oparte na idei porównywania danego szeregu z całką. Wczesna forma tego kryterium została odkryta w Indiach przez Madhawę^[2] w XIV wieku i jego następców ze szkoły w Kerali. W Europie kryterium zostało później ponownie odkryte przez Maclaurina w 1742^[3] i Cauchy’ego^[4].

Kryterium

Niech $f\colon [1,\infty )\to \mathbb {R}$ będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto $a_{n}=f(n)$ dla każdego $n.$ Wówczas szereg

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}

(A)

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa^[5]

\int \limits _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x.

(I)

Interpretacja geometryczna

Wykres funkcji $y={\frac {2}{x}}$ na przedziale $[1,\infty )$

Całka (I) wyraża pole powierzchni pod krzywą $y=f(x)$ (na ilustracji obok zaznaczonej na czarno) na przedziale $[1,\infty ).$ Wyrazy szeregu (A) podają wielkość rzędnych wykresu w punktach $x=1,2,\dots ,$ a więc wyrażają pola prostokątów o podstawie $1$ i wysokościach $a_{n}$ (na ilustracji obok zaznaczone na zielono). Suma szeregu (A) jest zatem sumą pól rzeczonych prostokątów. Biorąc to pod uwagę, kryterium całkowe można zinterpretować następująco: jeżeli pole pod wykresem $y=f(x)$ jest skończone, to tym bardziej skończona jest suma pól $1\cdot a_{n}$ (równa sumie szeregu (A)). Dokonując przesunięcia każdego z prostokątów o $1$ w prawo, wykres $y=f(x)$ na przedziale $[2,\infty )$ znajdzie się zawarty w figurze złożonej ze wspomnianych przesunięć. W szczególności, jeżeli pole pod wykresem $y=f(x)$ jest nieskończone, to nieskończone musi być także pole rozważanej figury, a więc i tym samym suma szeregu (A)^[6].

Dowód

Ponieważ funkcja $f$ jest malejąca zachodzą nierówności

$f(x)\leqslant a_{k}$ dla $k\leqslant x\leqslant k+1,$
$a_{k}\leqslant f(x)$ dla $k-1\leqslant x\leqslant k.$

Oznacza to, że

\int \limits _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x\leqslant a_{k}\leqslant \int \limits _{k-1}^{k}f(x)\,\mathrm {d} x\qquad (k\,=2,3\ldots ),

a stąd

a_{2}+\ldots +a_{n}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x\leqslant a_{1}+\ldots +a_{n-1}.

W przypadku gdy całka (I) jest zbieżna, ciąg całek częściowych

{\bigg (}\int \limits _{1}^{k}f(x)\,\mathrm {d} x{\bigg )}_{k=1}^{\infty }

jest ograniczony, co pociąga ograniczoność ciągu sum częściowych

{\bigg (}\sum _{j=1}^{k}a_{j}{\bigg )}_{k=1}^{\infty }

szeregu (A). Ciąg ten jest także niemalejący (z założenia, że wyrazy szeregu (A) są nieujemne), więc jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest on zbieżny, a tym samym szereg (A) jest zbieżny.

W przypadku, gdy szereg (A) jest zbieżny, wyżej zdefiniowany ciąg całek częściowych jest również ograniczony, a więc zbieżny (do całki (I)) jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych^[7].

Przykłady zastosowania

Szereg harmoniczny rzędu $s{:}$

\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}

jest zbieżny dla

s>1.

Istotnie, funkcja

f(x)=x^{-s}

jest dodatnia i malejąca na przedziale

[1,\infty ),

więc stosuje się kryterium całkowe:

\int \limits _{m}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{x^{s}}}=\int \limits _{m}^{\infty }{x^{-s}\mathrm {d} x}=\left[{\frac {x^{-s+1}}{-s+1}}\right]_{m}^{\infty }=\lim _{x\to \infty }~{\frac {x^{-s+1}}{-s+1}}-{\frac {m^{-s+1}}{-s+1}}=-{\frac {m^{-s+1}}{-s+1}},

gdy

-s+1<0,

czyli gdy

s>1

^[7].

Szereg

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot (\ln n)^{s}}}

jest zbieżny dla

s>1

i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Istotnie, oznaczając

f(x)={\frac {1}{x\cdot (\ln x)^{s}}}\quad (x\geqslant 2),

mamy

\int f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {(\ln x)^{1-s}}{1-s}}+C,\quad s\neq 1,

\int f(x)\,\mathrm {d} x=\ln(\ln x)+C,\quad s=1,

a stąd całka niewłaściwa

\textstyle \int _{2}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x

istnieje gdy

s>1

oraz nie istnieje w przeciwnym przypadku^[8].

Przypisy

↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 242.
↑ Petrovic 2014 ↓, s. 178.
↑ C. Maclaurin, Treatise of fluxions, 1. Edinburgh, 1742.
↑ A.L. Cauchy, Sur la convergence des séries, Oeuvres complètes Ser. 2, 7, Gauthier-Villars (1889), s. 267–279.
↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 243.
↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 244.
↑ ^a ^b Leja 1971 ↓, s. 276.
↑ Leja 1971 ↓, s. 276–277.

Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
John Srdjan Petrovic: Advanced Calculus: Theory and Practice. Boca Raton, London, New York: CRC Press, 2014. ISBN 978-1466565630.

[CITEREFFichtenholz1966242-1] Fichtenholz 1966 ↓, s. 242.

[CITEREFPetrovic2014178-2] Petrovic 2014 ↓, s. 178.

[3] C. Maclaurin, Treatise of fluxions, 1. Edinburgh, 1742.

[4] A.L. Cauchy, Sur la convergence des séries, Oeuvres complètes Ser. 2, 7, Gauthier-Villars (1889), s. 267–279.

[CITEREFFichtenholz1966243-5] Fichtenholz 1966 ↓, s. 243.

[CITEREFFichtenholz1966244-6] Fichtenholz 1966 ↓, s. 244.

[CITEREFLeja1971276-7] Leja 1971 ↓, s. 276.

[CITEREFLeja1971276–277-8] Leja 1971 ↓, s. 276–277.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: