Jeż (topologia)

Jeż – przykład przestrzeni metrycznej zlepionej z kolców złączonych w jednym punkcie, co sprawia, iż przypomina ona swoim wyglądem jeża.

Dla dowolnej liczby kardynalnej $\kappa$ jeżem o $\kappa$ kolcach nazywa się przestrzeń zdefiniowaną jako zbiór $\kappa$ kopii przedziałów jednostkowych utożsamionych w punkcie 0; każdy taki przedział nazywa się kolcem jeża.

Konstrukcja

Niech $S$ będzie zbiorem nieskończonej mocy $\kappa ,$ przy czym dla każdej liczby $\alpha \in S$ dalej wykorzystywane będą oznaczenia:

I_{\alpha }:=[0,1]\times \{\alpha \}

oraz

x_{\alpha }:=(x,\alpha )\in I_{\alpha }.

Dowodzi się, że relacja $R$ określona na $\textstyle \bigcup _{\alpha \in S}I_{\alpha }$ warunkiem:

x_{\alpha }Ry_{\beta }

wtedy i tylko wtedy, gdy

x=y

i

\alpha =\beta

lub

x=y=0,

jest relacją równoważności. Wzór

d{\big (}[x_{\alpha }],[y_{\beta }]{\big )}={\begin{cases}|x-y|,&{\mbox{ dla }}\alpha =\beta ,\\[2pt]x+y,&{\mbox{ dla }}\alpha \neq \beta .\end{cases}}

określa metrykę w zbiorze klas abstrakcji $R.$

Słownie metrykę tę można opisać następująco: zwykła odległość euklidesowa dla punktów, które leżą na tym samym kolcu, i odległość równa sumie odległości euklidesowych od zera obu punktów, gdy leżą one na innych kolcach. Tak zdefiniowaną metrykę nazywa się metryką kolejową, centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego bądź paryską^[1].

Przestrzeń ilorazową relacji $R,$ wyposażoną w metrykę $d,$ nazywa się jeżem z $\kappa$ kolcami i oznacza $J(\kappa ).$

Własności

Dla każdej liczby $\alpha \in S$ przekształcenie $j_{\alpha }$ odcinka [0,1] w jeża $J(\kappa )$ dane wzorem $j_{\alpha }(x)=[x_{\alpha }]$ jest zanurzeniem homeomorficznym.
Bazą przestrzeni $J(\kappa )$ jest rodzina kul otwartych o promieniach wymiernych i środkach w punktach postaci $[x_{\alpha }],$ gdzie $x$ jest liczbą wymierną oraz $\alpha \in S.$ Wynika stąd, że waga przestrzeni $J(\kappa )$ jest nie większa od $\kappa .$ Z drugiej strony podprzestrzeń przestrzeni $J(\kappa )$ złożona z punktów postaci $[1_{\alpha }]$ jest przestrzenią dyskretną mocy $\kappa ,$ stąd waga przestrzeni $J(\kappa )$ jest równa $\kappa .$
Twierdzenie Kowalsky’ego: Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu kopii jeża $J(\kappa )$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni metryzowalnych o ciężarze $\kappa .$ Innymi słowy, każda przestrzeń metryczna wagi $\kappa$ jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią produktu przeliczalnie wielu kopii jeża z $\kappa$ kolcami^[2].

Zobacz też

Przypisy

↑ W ten sposób metryka kolejowa zawężona do koła jednostkowego jest jeżem, przy czym $\kappa$ jest mocy continuum.
↑ Swardson, M. A.: A short proof of Kowalsky’s hedgehog theorem, „Proceedings of the American Mathematical Society” 75 (1979), s. 188. pdf.

Bibliografia

Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 308, 346.

[1] W ten sposób metryka kolejowa zawężona do koła jednostkowego jest jeżem, przy czym $\kappa$ jest mocy continuum.

[2] Swardson, M. A.: A short proof of Kowalsky’s hedgehog theorem, „Proceedings of the American Mathematical Society” 75 (1979), s. 188. pdf.

[1]

[2]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: