Iloraz różnicowy

Iloraz różnicowy – wielkość opisująca przyrost funkcji na danym przedziale.

Definicja

Niech $f\colon X\to Y$ i $x_{1},x_{2}\in X.$ Wtedy ilorazem różnicowym nazywamy iloraz^[1]:

{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}.

Jeżeli nie prowadzi to do niejasności stosujemy też oznaczenie ${\frac {\Delta f}{\Delta x}},$ gdzie $\Delta f$ oznacza licznik, zaś $\Delta x$ – mianownik powyższego ułamka.

Przykład

Dla funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{3}$ i punktów $x_{1}=0,x_{2}=1$ ich iloraz różnicowy wynosi:

{\frac {1^{3}-0^{3}}{1-0}}=1.

Rysunek przedstawia interpretację geometryczną ilorazu różnicowego dla dwóch punktów $x_{1},x_{2}.$ Prostą $PQ$ nazywa się sieczną lub cięciwą.

Uwaga

\operatorname {tg} \alpha ={\frac {\Delta f}{\Delta x}}

wyłącznie w prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach na obu osiach.

Jeżeli $f$ określa zmianę drogi ciała w czasie, to iloraz różnicowy funkcji $f$ w dla punktów $x_{1},x_{2}$ określa średnią prędkość ciała w czasie od $x_{1}$ do $x_{2}.$