Langbahn Team – Weltmeisterschaft

Funkcja Gudermanna

Wykres funkcji Gudermanna

Funkcja Gudermanna – funkcja specjalna nazwana od imienia niemieckiego matematyka, Christopha Gudermanna, zwana także amplitudą hiperboliczną lub gudermanianem, wyraża się wzorem:

{\begin{aligned}{\text{gd }}x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\\&=2{\text{ arctg}}\left({\text{tgh }}{\frac {x}{2}}\right)\\&=2{\text{ arctg }}e^{x}-{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}

Najważniejsze własności

Jak widać, stosowane funkcji Gudermanna ukazuje naturalny pomost, jaki istnieje między funkcjami cyklometrycznymi a hiperbolicznymi, bez potrzeby odwoływania się do narzędzi analizy zespolonej.

Zauważmy, że:

{\text{tgh }}{\frac {x}{2}}={\text{tg }}{\frac {{\text{gd }}x}{2}}

Prawdziwe są następujące tożsamości:

{\begin{array}{lcl}\sinh x&=&{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)\\\cosh x&=&\sec \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{tgh }}x&=&\sin \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{sech }}x&=&\cos \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{csch }}x&=&{\text{ctg}}\left({\text{gd }}x\right)\\{\text{ctgh }}x&=&\csc \left({\text{gd }}x\right)\end{array}}

Istnieje sposób wyrażenia funkcji wykładniczej przy użyciu funkcji Gudermanna:

{\begin{aligned}e^{x}&={\frac {1}{\cos \left({\text{gd }}x\right)}}+{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)\\&=\sec \left({\text{gd }}x\right)+{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)\\&={\text{tg}}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {{\text{gd }}x}{2}}\right)\\&={\frac {1+\sin \left({\text{gd }}x\right)}{\cos \left({\text{gd }}x\right)}}\end{aligned}}

Pochodna funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:

{\frac {d}{dx}}\,{\text{gd }}x={\text{sech }}x

Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna do funkcji Gudermanna (oznaczamy ją ${\text{arcgd }}x$ lub ${\text{gd}}^{-1}x$ ) wyraża się wzorem:

{\begin{aligned}{\text{arcgd }}x&={\text{gd}}^{-1}x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}\\&={\text{arcosh}}\left(\sec x\right)={\text{artgh}}\left(\sin x\right)\\&=\ln \left(\sec x\left(1+\sin x\right)\right)\\&=\ln \left({\text{tg }}x+\sec x\right)=\ln {\text{tg}}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}={\text{artgh}}\left(\sin x\right)\end{aligned}}

Ponadto prawdziwe jest równanie:

i{\text{ arcgd }}x={\text{arcgd}}\left(ix\right)

Pochodna funkcji odwrotnej do funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:

{\frac {d}{dx}}\,{\text{arcgd }}x=\sec x.

Bibliografia

CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Gudermannian, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-04-13].

p
d

Funkcje elementarne

wielomianowe	stałe liniowe kwadratowe stopnia trzeciego stopnia czwartego
homografie	proporcjonalności odwrotne liczba odwrotna
inne wymierne	rozkład Cauchy’ego
inne	pierwiastek arytmetyczny kwadratowy sześcienny wartość bezwzględna

definiowane potęgowaniem	potęgowe o wykładniku niewymiernym wykładnicze logarytmy funkcje logarytmiczne logarytm binarny logarytm dziesiętny logarytm naturalny hiperboliczne area (polowe) tetracja
inne	trygonometryczne cyklometryczne (kołowe) funkcja sinc funkcja Gudermanna

krzywe
tworzące
wykresy

stożkowe	okrąg półokrąg elipsa parabola hiperbola
inne algebraiczne	prosta parabola sześcienna lok Agnesi parabola semikubiczna
przestępne	krzywa łańcuchowa cykloida

pojęcia
definiujące

powiązane
tematy

p
d

Funkcje specjalne

pogrupowane według tego, jak są definiowane

złożeniem
i odwracaniem^[a]

całkami
z funkcji

wykładniczych	błędu całkowo-wykładnicza całkowy sinus hiperboliczny Γ (gamma Eulera) Β (beta)
logarytmicznych	logarytm całkowy
trygonometrycznych	całki Fresnela sinus i cosinus całkowy

równaniami
różniczkowymi

badacze
według
daty
narodzin

I połowa XVIII wieku	Leonhard Euler Johann Heinrich Lambert
II połowa XVIII wieku	Carl Friedrich Gauss Friedrich Wilhelm Bessel Augustin Jean Fresnel Christoph Gudermann
XIX wiek	Bernhard Riemann

↑ funkcji elementarnych

Quelle: https://pl.wikipedia.org/wiki/Gudermanian