Elipsa (gr. ἔλλειψις, elleipsis – „brak, opuszczenie, pominięcie”^[1][2], zob. geneza) – przypadek ograniczonej krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Elipsę można zdefiniować także jako miejsce geometryczne tych wszystkich punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą^[3].

Elipsy powstają jako obrazy okręgu lub sfery w rzucie równoległym i pewnych przypadkach rzutu perspektywicznego. Okręgi są szczególnymi przypadkami elips. Elipsa jest domkniętym i ograniczonym przypadkiem krzywej stopnia drugiego danej wzorem uwikłanym lub krzywej wymiernej drugiego stopnia. Jest najprostszą figurą Lissajous powstającą, gdy drgania poziome i pionowe mają tę samą częstotliwość.

Elipsa jest krzywą gładką, zamkniętą, symetryczną względem jej środka.

Odległość między punktami antypodycznymi elipsy, czyli parami punktów, których środek odcinka wyznaczany przez te punkty jest zarazem środkiem symetrii elipsy, jest maksymalna i minimalna wzdłuż dwóch prostopadłych kierunków – osi wielkiej (średnicy transwersalnej) oraz osi małej (średnicy sprzężonej).

Niech i oznaczają półoś wielką oraz półoś małą elipsy, tj. połowy odpowiednio osi wielkiej i małej.

Ogniskami elipsy oraz nazywamy punkty na osi wielkiej, takie że suma odległości dowolnego punktu elipsy od tych punktów jest stała, równa długości osi wielkiej

Półogniskową nazywamy odległości ognisk od środka elipsy:

Jeżeli jest równe to ogniska pokrywają się ze środkiem i wówczas elipsa staje się okręgiem o promieniu

Ogniskową elipsy nazywa się odległość ognisk od siebie; jest ona równa 2c.

Kierownice elipsy to proste prostopadłe do półosi wielkiej elipsy; są odległe od środka elipsy o

Dla okręgu kierownice znajdują się „w nieskończoności”.

Mimośrodem elipsy (ekscentrycznością elipsy) nazywa się liczbę równą ilorazowi długości półogniskowej do długości półosi wielkiej tj.

Mimośród zawiera się w przedziale od 0 do 1. Jest on równy zeru, gdy tj. gdy elipsa redukuje się do okręgu. Gdy elipsa wydłuża się, to współczynnik dąży do nieskończoności; wtedy mimośród dąży do 1.

Odległość od ogniska do środka nazywana jest mimośrodem liniowym (ekscentrycznością liniową) elipsy.

W obliczeniach geodezyjnych i kartograficznych mają zastosowanie następujące oznaczenia^[4]:

mimośród
drugi mimośród
trzeci mimośród

Parametry te mają zastosowanie do elipsoidy obrotowej, ale wywodzą się z elipsy południkowej.

Podobnie w obliczeniach geodezyjnych i astronomicznych są używane parametry elipsy nazywane spłaszczeniem:

(pierwsze) spłaszczenie		Podstawowe, odwrotność 1/f służy do określenia elipsoidy odniesienia.
drugie spłaszczenie		Rzadziej używane.
trzecie spłaszczenie		Używane w obliczeniach geodezyjnych.

Nazwa „elipsa” została zaczerpnięta (według Pappusa z Aleksandrii) przez Apoloniusza z Pergi z wczesnej pitagorejskiej terminologii dotyczącej przykładania pól powierzchni: po przyłożeniu prostokąta do odcinka (tj. umieszczeniu podstawy prostokąta wzdłuż odcinka tak, by jeden z końców odcinka i jeden z końców podstawy pokrywały się) przyłożonemu prostokątowi „brakowało” do długości odcinka; równanie elipsy to gdzie skąd a więc kwadrat rzędnej punktu elipsy jest mniejszy niż pole prostokąta o bokach długości równych parametrowi oraz odciętej.

Ślad tej relacji można też zaobserwować w równaniu ogólnym krzywej stożkowej:

gdzie – parametry krzywej.

Dla elipsy spełniona jest nierówność

Elipsę można nakreślić za pomocą dwóch szpilek (pinezek), kawałka sznurka i rysika (ołówka, długopisu):

Należy wetknąć szpilki w dwa punkty papieru, które staną się ogniskami elipsy, następnie zawiązać sznurek w luźną pętlę wokół szpilek, po czym naciągnąć sznurek za pomocą rysika tak, by powstał trójkąt. Elipsa zostanie nakreślona poprzez przesuwanie rysika po powierzchni kartki przy zachowaniu napięcia sznurka.

Aby nakreślić elipsę wpisaną w dany prostokąt, styczną do jego czterech boków w ich środkach, należy najpierw określić położenie ognisk i długość pętli:

Niech będą wierzchołkami prostokąta danymi w porządku odwrotnym do wskazówek zegara, gdzie jest jednym z dłuższych boków. Należy nakreślić okrąg o środku w i promieniu równym długości krótszego boku a następnie wyznaczyć styczną do okręgu przechodzącą przez Długość odcinka od do punktu styczności jest odległością między ogniskami. Należy następnie nakreślić dwie proste prostopadłe przez środek prostokąta równoległe do jego boków; będą to osie wielka i mała elipsy. Ogniska rozmieszczone są symetrycznie na osi wielkiej w odległości od środka.

Aby dostosować długość pętli sznurka należy wetknąć szpilkę w jedno z ognisk, drugą zaś w przeciwny (położony dalej) koniec osi głównej, po czym wykonać ścisłą pętlę wokół dwóch szpilek (tak, by była napięta). Oznacza to, że długość sznurka jest określona wzorem gdzie jest długością ogniskowej^[a], a to długość osi wielkiej.

Elipsa może być także nakreślona za pomocą linijki, ekierki oraz rysika:

Należy nakreślić dwie proste prostopadłe na papierze; będą to osie wielka i mała elipsy. Następnie na linijce należy oznaczyć punkty Obracając jedną ręką linijkę tak, by punkt zawsze leżał na prostej a punkt na prostej i kreśląc rysikiem za pomocą drugiej ręki na papierze, śladem punktu na linijce otrzymuje się elipsę.

Metoda ta może być wykorzystana przy cięciu elips z materiałów drewnianych za pomocą frezarek (ręcznych). Innymi przyrządami korzystającymi z tej zasady są elipsograf i cyrkiel drążkowy: linijka zastąpiona jest prętem z uchwytem na rysik (punkt ) z jednej strony oraz dwoma przesuwnymi bolcami, które przesuwają się w dwóch prostopadłych prowadnicach wyciętych w płycie.

(1) W układzie współrzędnych kartezjańskim elipsa mająca środek w początku układu współrzędnych, o osi wielkiej skierowanej wzdłuż osi dana jest równaniem analitycznym

gdzie i są długościami półosi;

Wtedy ogniska mają współrzędne i

(2) W układzie współrzędnych biegunowych elipsę opisuje wzór

gdzie jest mimośrodem.

(3) Elipsa dana jest też układem równań parametrycznych

gdzie – parametr.

Postać parametryczna jest wygodna do a) kreślenia numerycznego elipsy b) obliczeń numerycznych, np. łuku elipsy.

Uwaga: Parametr nie ma sensu kąta nachylenia promienia wodzącego punktów elipsy do osi jak to ma miejsce w równaniach parametrycznych okręgu. Jest to istotne przy obliczeniach łuku elipsy (patrz niżej); zachodzi jednak związek:

Pole powierzchni ograniczonej przez elipsę opisuje prosty wzór:

– nie daje się w ogólnym przypadku zapisać w postaci algebraicznej.

(1) Wzory przybliżone na obwód elipsy

lepsze przybliżenie

jeszcze lepsze przybliżenie

gdzie

2) Dokładny wzór na obwód elipsy wyraża się tzw. całką eliptyczną zupełną drugiego rodzaju

gdzie – mimośród, – półoś wielka elipsy.

Np. dla oraz mimośród wynosi co daje w przybliżeniu obwód elipsy równy

Uwagi:

(1) Całki eliptyczne są stablicowane; są kalkulatory online całek eliptycznych.

(2) Istnieją różne konwencje zapisu funkcji w niektórych argumentem jest kwadrat mimośrodu, nie sam mimośród; właściwy wzór pod znakiem całki wyrażonej przez mimośród będzie zawierał w drugiej potędze (nigdy w pierwszej czy czwartej).

Długość łuku elipsy oblicza się za pomocą całki eliptycznej niezupełnej drugiego rodzaju^[5] („niezupełność” całki oznacza, że liczy się nie cały obwód, ale łuk w zadanym zakresie kątów.)

(a) Łuk elipsy o półosiach ograniczony kątami mierzonymi od osi do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez różnicę całek eliptycznych niezupełnych 2 rodzaju wzorem

gdzie: – mimośród elipsy.

(wartości parametrów którym odpowiadają katy ograniczające łuk elipsy, wynikają z równań parametrycznych elipsy)

(b) Łuk elipsy o półosiach ograniczony kątami mierzonymi od osi do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez całkę eliptyczną niezupełną 2 rodzaju wzorem

gdzie

Styczna w punkcie do elipsy o ogniskach jest dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta Jest to równoznaczne z tym, że promień świetlny wychodzący z jednego ogniska elipsy po odbiciu (zgodnie z zasadą, że kąt padania jest równy kątowi odbicia) od krawędzi elipsy przejdzie przez drugie ognisko (kolorowe kąty na rysunku 1 mają równe miary).

Dowód:

Załóżmy, że dwusieczna tego kąta nie jest styczną, czyli przecina elipsę w pewnym punkcie różnym od

Niech będzie odbiciem w dwusiecznej. Z symetrii wynika, że

więc

gdzie oznacza długość dużej półosi elipsy. Podobnie pokazujemy, że

Ponieważ kąt jest kątem zewnętrznym trójkąta to punkty są współliniowe, więc są niewspółliniowe.

Stąd Jest to sprzeczne z

Zakładając nieprawdziwość tezy, doszliśmy do sprzeczności, zatem teza została udowodniona.

Gdy z punktu leżącego na zewnątrz elipsy poprowadzimy dwie proste, styczne do elipsy w punktach i to

(kąty o tych samych kolorach na rysunku 2 mają równe miary).

Dowód pierwszej równości:

Odbijamy elipsę w obu stycznych. Ogniska obrazów oznaczamy odpowiednio przez

Pamiętając własność stycznej udowodnioną powyżej, łatwo otrzymujemy, że ( – duża półoś). Oprócz tego, bo są obrazami tego samego odcinka.

Zatem

więc

oraz

gdzie – odbicie w

Lewe części tych równości są równe, oraz, stąd

czyli

Ponieważ

to

Więc mamy a stąd wynika równość którą trzeba było udowodnić.

Gdy punkty leżące wewnątrz trójkąta spełniają

to istnieje elipsa o ogniskach wpisana w trójkąt, czyli styczna do jego trzech boków (rys. 3). Wtedy zachodzi również Szczególnym przypadkiem takiej elipsy jest elipsa o ogniskach w ortocentrum i środku okręgu opisanego na trójkącie.

Dowód:

Możemy tak dobrać dużą półoś elipsy, żeby była styczna do Z twierdzenia odwrotnego do powyższej własności o dwóch stycznych (które jest oczywistą konsekwencją tej własności) otrzymujemy, że jest ona styczna do pozostałych boków trójkąta, bo zachodzą równości odpowiednich kątów. Korzystając ponownie z własności stycznych, otrzymujemy równość

Dokonując rachunku na kątach, otrzymujemy powyższe równości dla ortocentrum i środka okręgu opisanego, z czego wynika, że istnieje elipsa wpisana w trójkąt o takich ogniskach.

Niech będzie rzutem prostokątnym ogniska elipsy na styczną do niej. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów jest okrąg o środku w środku odcinka łączącego ogniska i o promieniu równym dużej półosi elipsy (czerwony okrąg na rys. 4).

Dowód:

Poprowadźmy dwie równoległe styczne do elipsy w punktach Są one symetryczne względem środka elipsy, więc jest równoległobokiem.

Niech będą rzutami prostokątnymi ognisk na styczną w zaś na styczną w Odbijamy w prostej otrzymując punkt

Punkty są symetryczne względem więc

Stąd jest równoległobokiem, czyli

Ale

Więc gdzie – duża półoś (korzystamy z równości wynikających z istnienia odpowiednich równoległoboków).

jest średnicą okręgu opisanego na prostokącie którego środkiem jest więc co należało pokazać.

Niech będą ustalone na płaszczyźnie: punkt prosta oraz liczba rzeczywista

Elipsa jest zbiorem punktów płaszczyzny, dla których stosunek odległości od punktu do odległości tych punktów od prostej jest stały i równy takie że punkt jest wtedy jednym z ognisk elipsy, prosta jej kierownicą, a liczba mimośrodem. Analogicznie dla mimośrodu równego 1 otrzymamy parabolę, dla mimośrodu większego niż 1 otrzymamy hiperbolę.

Elipsa jest szczególnym przypadkiem superelipsy. Odpowiednikiem elipsy w przestrzeni trójwymiarowej jest elipsoida.

• całka eliptyczna – tu m.in.: Tabela całek eliptycznych zupełnych 2-go rodzaju E(k)
• prawa Keplera
• długość krzywej

Polskojęzyczne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., O robaku i elipsach, „Delta”, październik 2010, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
• MichałM. Miśkiewicz MichałM., Źle rysuję stożki!, „Delta”, grudzień 2024, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-12-05] .

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ellipse, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Ellipse (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
• Grant Sanderson, Why slicing a cone gives an ellipse, kanał 3blue1brown na YouTube, 1 sierpnia 2018 [dostęp 2021-03-14].