Dyskusja:Funkcja odwrotna

Warunek

Co z warunkiem istnienia funkcji odwrotnej dla funkcji zapisanej w sposób parametryczny np: X(a,b) = f(a,b) Y(a,b) = g(a,b) Z(a,b) = h(a,b) Jak sprawdzić, czy dana funkcja posiada funkcje odwrotna ?

Pozdrawiam

Wzór

Wg mnie to wzór: "Zatem funkcja odwrotna ma wzór x = y/2 - 1" powinien wyglądać tak: $y=x/2-1$

funkcje parametryczne

najłatwiej sprawdzić warunki różnowartościowości i "na".

Uwaga odnośnie uwagi

Jak napisano w dziale Uwaga

W matematyce istnieją dwie konwencje^{[potrzebny przypis]} rozumienia czym jest zbiór

Y

przy zapisie:

f\colon X\to Y

.

Pierwsza z nich zakłada, że w domyśle, zbiór wartości funkcji

f

zawarty jest w zbiorze

Y

, druga z nich zakłada, że to właśnie

Y

jest całym zbiorem wartości. Z punktu widzenia definicji funkcji jako trójki uporządkowanej składającej się z dziedziny, przeciwdziedziny i wykresu, funkcje symbole

\sin \colon \mathbb {R} \to [-1,1]

oraz

\sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}

mówią o dwóch różnych funkcjach sinus – w praktyce nie ma to jednak większego znaczenia. W praktyce matematycznej, pierwsza konwencja jest popularniejsza. Jednak poniżej w definicji funkcji odwrotnej zakłada się, że

Y

jest całym zbiorem wartości funkcji

f

(tzn., że

f

jest na zbiór

Y

).

Zwracam tu uwagę na jeden znamienity fakt. Warunkiem istnienia funkcji odwrotnej jest bijektywność funkcji właściwej. Uwaga o dwóch konwencjach jest całkowicie niepoprawna, gdyż zapis: $f\colon X\to Y$ oznacza funkcję $f\colon x$ w ELEMENTY ZBIORU $Y$ Funkcja jest bijekcją wtw gdy jest inienkcją i surjekcją. Więc samo założenie wymusza $f\colon X\to Y$ surjekcją, więc założenie w dziale "Uwaga" jest błędne. Jako źródło polecam słynną książkę Rasiowej. Dlatego też usuwam wpis, gdyż wprowadza on tylko i wyłącznie zamęt. Gwoli uściślenia jako przykład całkowicie poprawnej funkcji można przytoczyć funkcję stałą f(x)=1 Jak widać funkcja ta nie jest surjekcją, nie jest injekcją. Jest poprawnie zdefiniowaną funkcją w zbiór liczb $\mathbb {R}$ . Jednak funkcja odwrotna do danej nie istnieje.
195.150.224.242 (dyskusja) 11:48, 4 lut 2010

UWAGA odnośnie Uwagi odnośnie uwagi:

znamienity ≠ znamienny

CiaPan (dyskusja) 13:25, 23 gru 2014 (CET)[odpowiedz]

Odwzorowanie liniowe odwrotne

W przypadku odwzorowań liniowych $T,S\in L(X)$ definicję odwzorowania odwrotnego zapisuje się $TS=ST=\operatorname {id} _{X}$ .

Przestrzenie skończeniewymiarowe

W skończeniewymiarowych przestrzeniach wektorowych $TS=\operatorname {id} _{X}$ pociąga za sobą $ST=\operatorname {id} _{X}$ . Wśród dowodów są dwa warianty, różniące się tym, czy jest wykorzystywane pojecie śladu.

Krok 1

TS=\operatorname {id} _{X}\Rightarrow (ST)^{2}=STST=S\operatorname {id} _{X}T=ST

, czyli

ST

jest rzutem.

Krok 2, wariant 1

Ponieważ

\operatorname {dim} \operatorname {Im} (ST)\leqslant \operatorname {max} \{\operatorname {dim} \operatorname {Im} (S);\operatorname {dim} \operatorname {Im} (T)\}

i

\operatorname {Im} (ST)=X

, więc

\operatorname {dim} \operatorname {Im} (S)=\operatorname {dim} \operatorname {Im} (T)=\operatorname {dim} X

, czyli

\operatorname {Im} (S)=\operatorname {Im} (T)=X

, Oznacza to, że

S

i

T

są różnowartościowe, a co za tym idzie

ST

jest różnowartościowym rzutem. Jedynym takim rzutem jest

\operatorname {id} _{X}

.

Krok 2, wariant 2

Znaczy to, że istnieje baza, w której macierz operatora

ST

ma na przekątnej tylko zera i jedynki.

\operatorname {dim} \,\operatorname {Ran} (ST)=\operatorname {Tr} (ST)=\operatorname {Tr} (TS)=\operatorname {dim} X

(wymiar obrazu

ST

jest równy wymiarowi całej przestrzeni), a to oznacza, że

ST=\operatorname {id} _{X}

.

Wariant pierwszy podał w mailu dr hab. Piotr Sołatn z Wydziału Matematyki i Informatyki UW, autor skryptu Algebra II – Wykład 1 do którego prowadził martwy w chwili obecnie link w przypisie i tą wersję uznał za lepszą od poprzedniej i zalecaną, bo nie odwołuje się ona do pojęcia śladu (to pojęcie wymaga dodatkowych założeń o charakterystyce ciała, nad którym jest rozpięta przestrzeń). Dodatkowa zaleta tego dowodu polega na tym, że nie odwołuje się on bezpośrednio do żadnych pojęć z rachunku macierzowego. --Wojciech Słota (dyskusja) 23:35, 14 gru 2014 (CET)[odpowiedz]

Przestrzenie nieskończeniewymiarowe

Twierdzenie to nie jest prawdziwe w przestrzeniach nieskończeniewymiarowych. Np. dla odwzorowań określonych w przestrzeni wielomianów zdefiniowanych przez swoje działanie na jednomianach:

T(x^{n})=nx^{n-1}

(różniczkowanie)

S(x^{n})={\frac {x^{n+1}}{n+1}}

(całkowanie ze stałą 0)

$TS=\operatorname {id} _{X}$ , ale $ST$ zeruje wielomiany stałe.

Można to też wyjaśnić, traktując $S$ i $T$ jak zwykłe funkcje. Nie są one bijekcjami z $X$ do $X$ , gdyż $S$ nie jest funkcją "na", zaś $T$ nie jest funkcją różnowartościową. Są one za to bijekcjami odpowiednio z $X$ do $Y$ i z $Y$ do $X$ , gdzie $Y$ jest podprzestrzenią (a wiec i podzbiorem) wielomianów bez wyrazu stałego, i z takimi dziedzinami i przeciwdziedzinami są funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Są też wzajemnie odwrotne jako odwzorowania liniowe należące do odpowiednio $L(X,Y)$ i $L(Y,X)$ . Podobnie $\sin$ jako funkcja z $\mathbb {R}$ w $[-1,1]$ i $\arcsin$ jako funkcja z $[-1,1]$ w $\mathbb {R}$ nie są funkcjami odwrotnymi, ale są funkcjami odwrotnymi jako funkcje z $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ w $[-1,1]$ i z $[-1,1]$ w $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ .

Podobnie w przestrzeniach skończeniewymiarowych nie istnieją operatory takie, że $ST-TS=\operatorname {id} _{X}$ , ale własność tę mają operatory różniczkowania wielomianu i mnożenia wielomianu przez $x$ .

Zapisuję wersję ze starym i nowym wariantem dowodu, i z podkreśleniem, że odwzorowanie liniowe odwrotne to szczególny przypadek funkcji odwrotnej (w tym bez zmiany, którą sam wprowadziłem na prośbę, nie pamiętając, dlaczego wcześniej nie pisałem o osobnej definicji). Problem w tym, że dodatkowe uwagi nie mają źródeł, więc powiszą tutaj, aż jakieś znajdę. BartekChom (dyskusja) 17:58, 14 gru 2014 (CET)[odpowiedz]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: