Diagonalizacja

Diagonalizacja – sprowadzenie macierzy kwadratowej do postaci diagonalnej^[1], a konkretniej rozkład macierzy $A\in M_{k}(K)$ na iloczyn macierzy $P,\Delta ,P^{-1}\in M_{k}(K){:}$

A=P\Delta P^{-1},

gdzie $\Delta$ jest macierzą diagonalną.

Macierz $P$ jest nazywana macierzą przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej $\Delta$ są równe kolejnym wartościom własnym macierzy $A,$ z kolei kolumny macierzy $P$ stanowią kolejne wektory własne macierzy $A.$

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

Zastosowanie

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

{\begin{aligned}A^{n}&=(P\Delta P^{-1})^{n}=\overbrace {P\Delta P^{-1}P\Delta P^{-1}\ldots P\Delta P^{-1}} ^{n}\\&=P\Delta ^{n}P^{-1}=P\operatorname {diag} (\lambda _{1}^{n}\ldots \lambda _{k}^{n})P^{-1},\end{aligned}}

gdzie:

$P^{-1}P=I_{k},$ gdzie $I_{k}$ jest macierzą jednostkową stopnia $k,$
$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ są wartościami własnymi macierzy $A,$
$\Delta ^{n}=\operatorname {diag} (\lambda _{1}^{n}\ldots \lambda _{k}^{n})$ jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

Własności

Macierze symetryczne i hermitowskie są diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie – tzn. istnieje dla nich unitarna macierz przejścia dla rozkładu diagonalnego.

W szczególności:

jeśli $A$ jest macierzą symetryczną, to ma rozkład diagonalny $A=P\Delta P^{-1},$ w którym $P$ jest pewną macierzą ortogonalną,
jeśli $A$ jest macierzą hermitowską, to ma rozkład diagonalny $A=P\Delta P^{-1},$ w którym $P$ jest pewną macierzą unitarną, a wartości własne są rzeczywiste,

Jeśli dla pewnej macierzy $A$ mamy rozkład diagonalny

A=P\Delta P^{-1},

wówczas:

macierze $A$ i $\Delta$ są podobne,
iloczyn wszystkich wartości własnych macierzy $A$ jest równy jej wyznacznikowi,
jeśli $A$ jest macierzą dodatnio określoną, wartości własne są nieujemne.

Diagonalizacja Jacobiego

Załóżmy, że $(V,\xi )$ jest przestrzenią ortogonalną oraz $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ jest bazą $V$ taką, że dla każdego $1\leqslant k\leqslant n-1$ zachodzi $g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k})\neq 0$ (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła $(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})$ przestrzeni $V,$ w której $\xi$ ma macierz: