Baza ortonormalna – zbiór wektorów w przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym o następujących własnościach^[1]:

• dla każdego (tj. każdy element ma normę 1),
• ortogonalność: dla różnych
• domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru jest całą przestrzenią

Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.

• Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej
• Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem.
• Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
• Bazą ortonormalną przestrzeni gdzie jest dowolnym zbiorem, jest rodzina gdzie:

Jeżeli jest bazą ortonormalną przestrzeni to dowolny wektor tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.

Normę wektora można wyrazić za pomocą równości^[2]:

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń Hilberta z bazą jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią gdzie jest dowolnym zbiorem równolicznym z

Jeżeli jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta to domknięcie powłoki liniowej zbioru jest podprzestrzenią liniową Zbiór jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna, można uzasadnić^[1], że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc^[3]. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną^[4]. Istnieją przestrzenie unitarne bez bazy ortonormalnej^[5].

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta^[1].

• John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer, 2007.
• Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book. New York: Springer-Verlag, 1982, seria: Graduate Texts in Mathematics 19. ISBN 978-1-4684-9332-0.

• Piotr Stachura, Wprowadzenie do baz ortonormalnych, kanał Khan Academy na YouTube, 9 listopada 2021 [dostęp 2024-06-22].