Wesentliches Supremum
Der Begriff des wesentlichen Supremums oder essentiellen Supremums wird in der Mathematik bei der Einführung der -Räume für den Fall als Erweiterung des Supremum-Begriffs benötigt. Da bei der Konstruktion dieser Funktionenräume Funktionen, die sich nur auf Nullmengen voneinander unterscheiden, als identisch betrachtet werden, kann man nur eingeschränkt von Funktionswerten in einzelnen Punkten sprechen. Der Begriff der beschränkten Funktion muss dementsprechend angepasst werden.
Definition
Seien ein Maßraum und ein Banachraum. Eine messbare Funktion heißt wesentlich beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, so dass
ist, das heißt, es gibt eine Modifikation von auf einer Nullmenge, so dass die entstehende Funktion im klassischen Sinne beschränkt ist. Jedes solche wird eine wesentliche Schranke genannt. Als wesentliches Supremum, in Zeichen , bezeichnet man
oder auch (für )
- .
Einige Autoren bezeichnen das wesentliche Supremum auch mit oder .[1]
Für eine stetige oder abschnittsweise stetige Funktion ergibt sich die Identität zum klassischen Supremum, falls das Lebesgue-Maß ist.
L∞-Raum
Mit wird die Menge aller wesentlich beschränkten Funktionen bezeichnet. Es sei mit die Menge der wesentlich beschränkten Funktionen mit Schranke 0 bezeichnet. Dann ist die Menge der Äquivalenzklassen von Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.
ist ein linearer Raum mit Norm
- .
![{\displaystyle \|[f]\|_{L^{\infty }}=\mathrm {ess} \sup \|f\|_{X},\ f\in [f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540927354cfd0aed32adf1a63bd4d6514108863b)
Diese Norm ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten in der Äquivalenzklasse . Mit dieser Norm wird zu einem Banachraum. In der mathematischen Literatur verzichtet man auf die eckigen Klammern, die für die Äquivalenzklasse von stehen. In der Regel schreibt man einfach und weist den Leser darauf hin, dass die auftretenden Gleichungen nur bis auf Nullmengen zu verstehen sind.
![{\displaystyle [f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7414a730e8157655ff770265ec3a03ec9f09dd54)
Beispiel
Betrachtet man die Dirichletsche Sprungfunktion auf versehen mit dem Lebesgue-Maß, so ist das Supremum . Da die Menge der rationalen Zahlen aber eine Lebesgue-Nullmenge ist, ist das wesentliche Supremum .
Literatur
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 223.
- Wladimir I. Smirnow: Lehrbuch der höheren Mathematik (= Hochschulbücher für Mathematik. Bd. 6). Band 5. 11. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1991, ISBN 3-817-11303-X, S. 232, Nr. 6.
Einzelnachweise
- ↑ Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. De Gruyter, 2012, ISBN 978-3-486-71968-0, S. 406.