Wallissche Ungleichungen

In der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik, bezeichnet man als wallissche Ungleichungen (englisch Wallis’s inequalities) solche Ungleichungen, welche mit der nach dem Mathematiker John Wallis benannten Produktformel zusammenhängen. Diese Ungleichungen liefern Abschätzungen, die den Zusammenhang zwischen der Doppelfakultätenfunktion und der Kreiszahl $\pi$ beleuchten. Die wallisschen Ungleichungen wurden in einer Vielzahl von Arbeiten weiterführenden Untersuchungen unterworfen.^[1]^[2]

Darstellung der Ungleichungen

Zwei der geläufigsten wallisschen Ungleichungen sind folgende:^[3]

Für jede natürliche Zahl $n>0$ gelten die Abschätzungen

{\frac {1}{\sqrt {\pi \cdot (n+{\frac {1}{2}})}}}<{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}={\frac {(2n-1)\cdot (2n-3)\cdot \mathrm {} \cdots \mathrm {} \cdot 3\cdot 1}{2n\cdot (2n-2)\cdot \mathrm {} \cdots \mathrm {} \cdot 4\cdot 2}}<{\frac {1}{\sqrt {\pi \cdot n}}}

.

Folgerungen

Aus den obigen Ungleichungen lassen sich die folgenden Ungleichungen ableiten, die, wenn von einigen kleinen Indizes abgesehen wird, schwächer als die zuvorigen beiden sind:^[3]

Für jede natürliche Zahl $n>0$ hat man

{\sqrt {\frac {\frac {5}{4}}{4n+1}}}<{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}<{\sqrt {\frac {\frac {3}{4}}{2n+1}}}

.

Wie Robert Alexander Rankin in seiner Monographie An Introduction to Mathematical Analysis zeigt, gewinnt man die letztgenannten Ungleichungen auch auf direktem Wege mit einem Induktionsbeweis.^[4]

Verschärfungen

Ein Mathematiker namens Donat K. Kazarinoff zeigte im Jahre 1956 eine Verschärfung der oberen Abschätzung, nämlich:^[3]

Für jede natürliche Zahl $n>0$ gilt

{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}<{\frac {1}{\sqrt {\pi \cdot (n+{\frac {1}{4}})}}}

.

Im Jahre 2005 bewiesen die beiden Mathematiker Chen Chao-Ping und Qi Feng eine Verschärfung der unteren Abschätzung, nämlich:

Für jede natürliche Zahl $n>0$ gilt

{\frac {1}{\sqrt {\pi \cdot (n+{\frac {4}{\pi }}-1)}}}\leq {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}

.

Zusammenhang mit dem wallisschen Produkt

Der oben angesprochene Zusammenhang zwischen der Doppelfakultätenfunktion und der Kreiszahl ergibt sich bei Berücksichtigung des folgenden Resultats, welches man in der Differential- und Integralrechnung II von G. M. Fichtenholz findet (und ebenfalls in der genannten Monographie von Rankin):^[5]^[6]

Für jede natürliche Zahl $n>0$ ist

{\Biggl [}{\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}{\Biggr ]}^{2}\cdot {\frac {1}{2n+1}}<{\frac {\pi }{2}}<{\Biggl [}{\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}{\Biggr ]}^{2}\cdot {\frac {1}{2n}}

und folglich^[7]

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left({\Biggl [}{\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}{\Biggr ]}^{2}\cdot {\frac {1}{2n}}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left({\Biggl [}{\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}{\Biggr ]}^{2}\cdot {\frac {1}{2n+1}}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left({\frac {2^{2}\cdot 4^{2}\cdot \mathrm {} \cdots \mathrm {} \cdot (2n-2)^{2}\cdot (2n)^{2}}{1\cdot [1\cdot 3]\cdot [3\cdot 5]\cdot \mathrm {} \cdots \mathrm {} \cdot [(2n-3)\cdot (2n-1)]\cdot [(2n-1)\cdot (2n+1)]}}\right)\\\end{aligned}}

.

Literatur

G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.
Chen Chao-Ping, Qi Feng: Best upper and lower bounds in Wallis' inequality. In: Journal of the Indonesian Mathematical Society (MIHMI). Band 11, 2005, S. 137–141 (MR2168684).
D. K. Kazarinoff: On Wallis' formula. In: Edinburgh Mathematical Notes. 1956, no. 40, 1956, S. 19–21 (MR0082501).
D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).
Robert A. Rankin: An Introduction to Mathematical Analysis (= International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics. Band 165). Pergamon Press, Oxford, London, New York, Paris 1963.

Einzelnachweise

↑ D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 192–193, S. 287
↑ Vgl. z. B. Suche auf der Website der American Mathematical Society
↑ ^a ^b ^c Mitrinović, op. cit., S. 192
↑ Robert A. Rankin: An Introduction to Mathematical Analysis. 1963, S. 13
↑ G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. 1974, S. 149–150
↑ Rankin, op. cit., S. 380
↑ Wie Fichtenholz ausführt, ist nämlich die Differenz der beiden äußeren Ausdrücke $<{\frac {\pi }{4n}}$ .

[DSM_w1-1] D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 192–193, S. 287

[2] Vgl. z. B. Suche auf der Website der American Mathematical Society

[DSM_w2-3] Mitrinović, op. cit., S. 192

[RAR-01-4] Robert A. Rankin: An Introduction to Mathematical Analysis. 1963, S. 13

[GMF-01-5] G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. 1974, S. 149–150

[RAR-02-6] Rankin, op. cit., S. 380

[7] Wie Fichtenholz ausführt, ist nämlich die Differenz der beiden äußeren Ausdrücke $<{\frac {\pi }{4n}}$ .

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