Strukturkonstante
Strukturkonstanten enthalten in der Mathematik die gesamten Informationen einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra und somit insbesondere alle lokalen Informationen jeder ihr zugeordneten Lie-Gruppe.
Definition
Sei eine endlichdimensionale Lie-Algebra mit der Lie-Klammer und sei eine Vektorraumbasis dieser Lie-Algebra. Da in Vektorräumen jedes Element als Linearkombination bezüglich einer Basis darstellbar ist, existiert für alle die Zerlegung
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle [x_{i},x_{j}]=\sum _{k=1}^{n}c_{ij}^{k}x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a39ebca60e9de8e273b77116d3778b9057980c)
der Lie-Klammer der Lie-Algebra. Die Konstanten (d. h. aus der Menge der komplexen Zahlen) heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra.
Eigenschaften
- Antisymmetrie
- Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie-Klammer antisymmetrisch in den unteren Indizes;
- Daraus folgt für Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes .
- Jacobi-Identität
- Aufgrund der Jacobi-Identität für die Lie-Klammer folgt eine Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten:
- Tensorstruktur
- Die Strukturkonstanten sind -Tensoren. Das heißt, bei einem Basiswechsel gilt:
Beispiel
Als Beispiel für Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige Lie-Algebra in der Basis der Pauli-Matrizen gegeben. Die Lie-Klammer in dieser Darstellung ist der Kommutator und es gilt
![{\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=\sum _{k=1}^{3}2\mathrm {i} \varepsilon _{ij}^{k}\sigma _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc580a8b4906cb0e0eeb7e0ce8676f800d7e924)
mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol .
Literatur
- Manfred Böhm: Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-20378-7, S. 179–180.
- Hans Samelson: Notes on Lie Algebras. Springer, New York 1990, ISBN 978-0-387-97264-0, S. 5.