In der Funktionentheorie ist eine quasikonforme Abbildung eine Verallgemeinerung einer biholomorphen Abbildung. Hier wird im Wesentlichen auf die Winkeltreue verzichtet.

Seien und zwei Gebiete der komplexen Zahlenebene. Ein Homöomorphismus

heißt quasikonform, wenn es eine positive reelle Zahl kleiner 1 gibt, so dass

gilt. Dabei ist

die komplexe Dilatation, auch Beltrami-Koeffizient genannt.

Die Dilatation von f im Punkt z ist definiert als

Das Supremum

ist die Dilatation von f.

Sei k eine positive reelle Zahl kleiner 1. Die partielle Differentialgleichung

wobei eine integrierbare Funktion mit ist, heißt Beltrami-Gleichung.

Auf der riemannschen Zahlenkugel gilt, dass die Lösungen der Beltrami-Gleichung genau die quasikonformen Abbildungen sind.

Als Anwendung dieses Satzes kann man zeigen, dass alle fastkomplexen Strukturen auf der 2-Sphäre und auf allen anderen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten integrabel sind, d. h., alle fastkomplexen Strukturen sind komplexe Strukturen.

• C. B. Morrey: On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., Bd. 43, 1938, Seiten 126–166.
• V. Gol'dshtein, Yu. G. Reshet'nyak: Quasiconformal mappings and Sobolev spaces. Kluwer, 1990 (übersetzt aus dem Russischen).
• A. Bejancu: Quasi-conformal mapping. In: Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085