Primorial

Mit Primorial (von englisch primorial), oder Primfakultät, bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen. Die Begriffe sind eng mit der Fakultät verwandt und kommen vor allem in dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie zum Einsatz.

Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial. Das Produkt der Primzahlen kleiner gleich $n$ wird allerdings im Deutschen selten Primorial, noch seltener Primfakultät genannt. Meist wird es umschrieben als „Produkt der Primzahlen kleiner gleich n“.

Definition

Für eine natürliche Zahl $n$ ist die Primfakultät $n\#$ definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich $n$ :

n\#=\prod _{p\ \mathrm {prim} }^{p\,\leq \,n}\!\!p

bzw. als $p_{k}\#$

p_{k}\#=\prod _{i=1}^{k}p_{i}

.

Beide unterschiedliche Definitionen sind in der mathematischen Schreibweise einfach zu unterscheiden und in sich konsistent, allerdings beide Definitionen nicht durch den Funktionsnamen (Primorial, Primefactorial wie Primfakultät) zu unterscheiden.

\qquad \quad 7\#=\prod _{p\ \mathrm {prim} }^{p\,\leq \,7}\!\!p=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210

,

p_{4}\#=7\#=\prod _{i=1}^{4}p_{i}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210

.

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem $n$ Primzahl ist, und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime $n$ undefiniert bleibt.

Im Fall $n\leq 1$ liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente $n$ , die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese $n$ den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

Beispiel

Um den Wert des Primorials $7\#$ zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleiner gleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert $7\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$ . Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen – da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt $7\#=8\#=9\#=10\#=210$ .

Eigenschaften

Es seien $p$ und $q$ zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl $n$ mit $p\leq n<q$ :

n\#=p\#

Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung^[1]

n\#\leq 4^{n}

.

Ferner gilt:

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e

Für

n<10^{11}

sind die Werte kleiner als

e

,^[2] aber mit größeren

n

überschreiten die Werte der Funktion die Schranke

e

und oszillieren später unendlich oft um

e

.

Ist $p_{k}$ die $k$ -te Primzahl, dann hat $p_{k}\#$ genau $2^{k}$ Teiler.

Zum Beispiel hat die Zahl

2\#

zwei Teiler,

3\#

hat vier Teiler,

5\#

hat acht Teiler und

97\#

hat bereits

2^{25}

Teiler, denn 97 ist die 25. Primzahl.

Die Summe der Kehrwerte der Primfakultät konvergiert gegen eine Konstante

\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over p_{k}\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+{1 \over 210}+\ldots =0{,}7052301717918\ldots

Die Engel-Entwicklung (eine spezielle Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)

Der Satz von Euklid nutzt den Ausdruck $p\#+1$ für den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Funktionswerte bis 100

n	n#
200	2
3…400	6
5…600	30
7…100	210
11…120	2.310
13…160	30.030
17…180	510.510
19…220	9.699.690
23…280	223.092.870
29…300	6.469.693.230
31…360	200.560.490.130
37…400	7.420.738.134.810
41…420	304.250.263.527.210
43…460	13.082.761.331.670.030
47…520	614.889.782.588.491.410
53…580	32.589.158.477.190.044.730
59…600	1.922.760.350.154.212.639.070
61…660	117.288.381.359.406.970.983.270
67…700	7.858.321.551.080.267.055.879.090
71…720	557.940.830.126.698.960.967.415.390
73…780	40.729.680.599.249.024.150.621.323.470
79…820	3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
83…880	267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
89…960	23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
97…100	2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070

k	p_k	p_k#
1	2	2
2	3	6
3	5	30
4	7	210
5	11	2.310
6	13	30.030
7	17	510.510
8	19	9.699.690
9	23	223.092.870
10	29	6.469.693.230
11	31	200.560.490.130
12	37	7.420.738.134.810
13	41	304.250.263.527.210
14	43	13.082.761.331.670.030
15	47	614.889.782.588.491.410
16	53	32.589.158.477.190.044.730
17	59	1.922.760.350.154.212.639.070
18	61	117.288.381.359.406.970.983.270
19	67	7.858.321.551.080.267.055.879.090
20	71	557.940.830.126.698.960.967.415.390
21	73	40.729.680.599.249.024.150.621.323.470
22	79	3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
23	83	267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
24	89	23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
25	97	2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070

(Siehe Folge A002110 in OEIS)

Quellen

↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
Theorem 415, S. 341
↑ L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions $\theta (x)$ and $\psi (x)$ . II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.
Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef $\theta$ sur le $k$ -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction $\omega (n)$ , nombre de diviseurs premiers de $n$ . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371