Orthogonalprojektion

Eine Orthogonalprojektion (von gr. ὀρθός orthós gerade, γωνία gōnía Winkel und lat. prōicere, PPP prōiectum vorwärtswerfen), orthogonale Projektion oder senkrechte Projektion ist eine Abbildung, die in vielen Bereichen der Mathematik eingesetzt wird. In der Geometrie ist eine Orthogonalprojektion die Abbildung eines Punkts auf eine Gerade oder eine Ebene, sodass die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und seinem Abbild mit dieser Gerade oder Ebene einen rechten Winkel bildet. Das Abbild hat dann von allen Punkten der Gerade oder Ebene den kürzesten Abstand zum Ausgangspunkt. Eine Orthogonalprojektion ist damit ein Spezialfall einer Parallelprojektion, bei der die Projektionsrichtung gleich der Normalenrichtung der Gerade oder Ebene ist.

In der linearen Algebra wird dieses Konzept auf höherdimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen und allgemeinere Winkel- und Abstandsbegriffe erweitert. Eine Orthogonalprojektion ist dann die Projektion eines Vektors auf einen Untervektorraum, sodass der Differenzvektor aus Abbild und Ausgangsvektor in dessen orthogonalem Komplement liegt. In der Funktionalanalysis wird der Begriff noch weiter in unendlichdimensionalen Skalarprodukträumen gefasst und insbesondere auf Funktionen angewandt. Die Existenz und Eindeutigkeit solcher Orthogonalprojektionen stellt dann der Projektionssatz sicher.

Orthogonalprojektionen besitzen vielfältige Einsatzbereiche innerhalb der Mathematik, beispielsweise in der darstellenden Geometrie, dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren, der Methode der kleinsten Quadrate, dem Verfahren der konjugierten Gradienten, der Fourier-Analysis oder der Bestapproximation. Sie besitzen Anwendungen unter anderem in der Kartografie, der Architektur, der Computergrafik und der Physik.

Darstellende Geometrie

In der darstellenden Geometrie und im technischen Zeichnen dienen Projektionen dazu, zweidimensionale Abbildungen von dreidimensionalen geometrischen Körpern herzustellen. Neben der Zentralprojektion kommen hierbei häufig Parallelprojektionen zum Einsatz. Eine Parallelprojektion ist eine Abbildung, die Punkte des dreidimensionalen Raums auf Punkte einer gegebenen Bildebene abbildet, wobei die Projektionsstrahlen zueinander parallel sind. Treffen die Projektionsstrahlen im rechten Winkel auf die Projektionsebene, so spricht man von einer Orthogonalprojektion.

Werden statt einer Bildebene drei Projektionsebenen verwendet, die aufeinander senkrecht stehen, dann handelt es sich um eine Dreitafelprojektion oder Normalprojektion. Meist liegen dabei die Projektionsebenen parallel zu den Achsen des verwendeten (kartesischen) Koordinatensystems. Besitzt ein Punkt im Raum dann die Koordinaten $(x,y,z)$ , so erhält man die Orthogonalprojektionen des Punkts auf die drei Koordinatenebenen durch

(x,y,z)\rightarrow (x,y,0)

(Projektion auf die xy-Ebene)

(x,y,z)\rightarrow (x,0,z)

(Projektion auf die xz-Ebene)

(x,y,z)\rightarrow (0,y,z)

(Projektion auf die yz-Ebene)

Verläuft eine Projektionsebene zwar parallel zu zwei der Koordinatenachsen, aber nicht durch den Nullpunkt des Koordinatensystems, so erhält man den projizierten Punkt durch Ersetzen des Werts $0$ durch den Schnittpunkt der Ebene mit der dritten Koordinatenachse. Bei einer orthogonalen Axonometrie, beispielsweise einer Isometrie oder einer Dimetrie, wird das abzubildende Objekt vor der Projektion auf spezifische Weise gedreht.

Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie beschäftigt sich mit der Berechnung und den mathematischen Eigenschaften von Orthogonalprojektionen im zwei- und dreidimensionalen Raum, insbesondere für den Fall, dass die Projektionsebene nicht parallel zu den Koordinatenachsen liegt.

Projektion auf eine Gerade

Definition

In der euklidischen Ebene ist eine Orthogonalprojektion die Abbildung eines Punkts $P$ auf eine Gerade $g$ , derart dass die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und seinem Abbild $P'$ einen rechten Winkel mit der Gerade bildet. Eine Orthogonalprojektion muss demnach die beiden Bedingungen

$P'\in g$ (Projektion)
${\overline {PP'}}\perp g$ (Orthogonalität)

erfüllen. Die Linie ${\overline {PP'}}$ heißt Lot des Punkts auf die Gerade und der projizierte Punkt $P'$ wird Lotfußpunkt genannt. Die zeichnerische Konstruktion des Lots mit Zirkel und Lineal ist eine Standardaufgabe der euklidischen Geometrie und man spricht dabei vom Fällen des Lots.

Herleitung

In der analytischen Geometrie werden Punkte im kartesischen Koordinatensystem durch Ortsvektoren ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}$ beschrieben und Geraden typischerweise als Geradengleichung in Parameterform ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\lambda \,{\vec {u}}$ , wobei ${\vec {r}}_{0}$ der Ortsvektor eines Geradenpunkts, ${\vec {u}}$ der Richtungsvektor der Geraden und $\lambda$ ein reeller Parameter ist. Zwei Vektoren ${\vec {x}}$ und ${\vec {y}}$ bilden dabei einen rechten Winkel, wenn ihr Skalarprodukt ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0$ ist. Die Orthogonalprojektion $P_{g}({\vec {x}})$ auf die Gerade $g$ muss die beiden Bedingungen

$P_{g}({\vec {x}})={\vec {r}}_{0}+\lambda \,{\vec {u}}$
$(P_{g}({\vec {x}})-{\vec {x}})\cdot {\vec {u}}=0$

für ein $\lambda \in \mathbb {R}$ erfüllen.

Wird die erste Gleichung in die zweite eingesetzt, so erhält man

({\vec {r}}_{0}+\lambda \,{\vec {u}}-{\vec {x}})\cdot {\vec {u}}=0

,

was nach $\lambda$ aufgelöst

\lambda ={\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {r}}_{0}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}={\frac {({\vec {x}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}

ergibt.

Verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den Nullpunkt, dann gilt ${\vec {r}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ und die Formel vereinfacht sich zu

P_{g}({\vec {x}})={\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}

.

Ist zudem der Richtungsvektor der Gerade ein Einheitsvektor, gilt also ${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=1$ , so erhält man die einfachere Darstellung

P_{g}({\vec {x}})=({\vec {x}}\cdot {\vec {u}})\,{\vec {u}}

.

Der Faktor ${\vec {x}}\cdot {\vec {u}}$ gibt dann an, wie weit der projizierte Punkt auf der Gerade vom Nullpunkt entfernt ist. Analog kann auch ein Punkt ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$ im euklidischen Raum auf eine Gerade im Raum orthogonal projiziert werden, es wird lediglich mit drei statt zwei Komponenten gerechnet.

Beispiele

Die Orthogonalprojektion des Punkts mit ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$ auf die Ursprungsgerade mit Richtung ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ in der euklidischen Ebene ist

P_{g}({\vec {x}})={\frac {4\cdot 1+3\cdot 2}{1\cdot 1+2\cdot 2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\frac {10}{5}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}

.

Die Orthogonalprojektion des Punkts mit ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\9\\6\end{pmatrix}}$ auf die Ursprungsgerade mit Richtung ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}$ im euklidischen Raum ist

P_{g}({\vec {x}})={\frac {3\cdot 2+9\cdot 1+6\cdot 2}{2\cdot 2+1\cdot 1+2\cdot 2}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}={\frac {27}{9}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}}

.

Eigenschaften

Befindet sich der zu projizierende Punkt ${\vec {x}}$ bereits auf der Gerade, dann gibt es eine Zahl $\lambda$ mit ${\vec {x}}=\lambda {\vec {u}}$ und die Orthogonalprojektion

P_{g}({\vec {x}})={\frac {\lambda {\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}={\frac {\lambda ({\vec {u}}\cdot {\vec {u}})}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}=\lambda {\vec {u}}={\vec {x}}

verändert den Punkt nicht. Andernfalls minimiert die Orthogonalprojektion den Abstand zwischen dem Ausgangspunkt und allen Geradenpunkten, da für das Quadrat dieses Abstands nach dem Satz des Pythagoras

|\lambda {\vec {u}}-{\vec {x}}|^{2}=|\lambda {\vec {u}}-P_{g}({\vec {x}})|^{2}+|P_{g}({\vec {x}})-{\vec {x}}|^{2}\geq |P_{g}({\vec {x}})-{\vec {x}}|^{2}

für alle Zahlen $\lambda \in \mathbb {R}$ gilt. Das Minimum wird dabei eindeutig an dem orthogonal projizierten Punkt angenommen, da der erste Term der Summe genau für $\lambda ={\tfrac {{\vec {x}}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}$ null wird. Bilden die Vektoren ${\vec {x}}$ und ${\vec {u}}$ einen rechten Winkel, so ist der projizierte Punkt der Nullpunkt.

Berechnung

Die Orthogonalprojektion eines Punkts ${\vec {x}}$ auf eine Gerade $g$ , die keine Ursprungsgerade ist, ist durch

P_{g}({\vec {x}})={\vec {r}}_{0}+{\frac {({\vec {x}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}

.

gegeben (siehe oben Abschnitt „Herleitung“). Aus dem Allgemeinfall erhält man die obigen Spezialfälle, indem der Stützvektor der Gerade in den Nullpunkt verschoben wird und ihr Richtungsvektor normiert wird, also durch seinen Betrag geteilt wird. In dem Beispiel der obigen Abbildung ist ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ , ${\vec {r}}_{0}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ sowie ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und damit $P_{g}({\vec {x}})={\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}$ .

Alternativ kann eine Orthogonalprojektion im zweidimensionalen Fall auch durch Ermittlung des Schnittpunkts der Ausgangsgeraden mit der Lotgeraden berechnet werden. Ist ${\vec {n}}$ ein Normalenvektor der Ausgangsgeraden, so folgt aus den beiden Bedingungen

$P_{g}({\vec {x}})={\vec {x}}-\mu \,{\vec {n}}$
$(P_{g}({\vec {x}})-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {n}}=0$

durch Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite Gleichung und Auflösen nach dem freien Parameter $\mu$ für die Orthogonalprojektion

P_{g}({\vec {x}})={\vec {x}}-{\frac {({\vec {x}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {n}}

.

Einen Normalenvektor kann man durch Vertauschen der beiden Komponenten des Richtungsvektors der Geraden und durch Umkehrung des Vorzeichens einer der beiden Komponenten ermitteln. In dem obigen Beispiel ist ein solches ${\vec {n}}=(1,-1)$ . Da eine Gerade im dreidimensionalen Raum keine ausgezeichnete Normalenrichtung besitzt, ist dieser einfache Ansatz aber nur in zwei Dimensionen möglich.