Normtopologie

Eine Normtopologie ist in der Mathematik eine Topologie auf einem normierten Vektorraum, die durch die Norm des Vektorraums induziert wurde.

Definition

Ist $(V,\|\cdot \|)$ ein normierter Vektorraum, so induziert die Norm des Raums durch Differenzenbildung zweier Vektoren $x,y\in V$ eine Metrik

d(x,y):=\|x-y\|

.

auf $V$ . Mit dieser Metrik wird der Vektorraum zu einem metrischen Raum $(V,d)$ . Eine Metrik kann nun verwendet werden, um eine ε-Umgebung um einen Vektor $x\in V$ durch

U_{\varepsilon }(x):=\{\,y\in V,\,d\,(x,y)<\varepsilon \,\}

zu definieren. Damit heißt dann eine Teilmenge $M\subset V$ offen, falls

\forall \ {x\in M}\;{\exists \ \varepsilon }>0:U_{\varepsilon }(x)\subset M

gilt. Über diese offenen Mengen induziert die Metrik nun auf $V$ eine Topologie

{\mathcal {T}}:=\{M\subset V,\,M\,{\text{offen}}\}

.

Mit dieser Topologie wird der Vektorraum zu einem topologischen Vektorraum $(V,{\mathcal {T}})$ und diese letztendlich von der Norm induzierte Topologie heißt Normtopologie.

Topologie-Axiome

Die Normtopologie ist tatsächlich eine Topologie, wie sich durch eine Überprüfung der drei Topologie-Axiome, die in der folgenden Form für alle metrischen Räume gültig ist, nachweisen lässt.

Die leere Menge und die Grundmenge sind offen:
Die leere Menge ist offen, da es kein $x$ gibt, für das eine geeignete ε-Umgebung gefunden werden müsste. Die Grundmenge $V$ ist offen, da sie eine ε-Umgebung aller ihrer Elemente ist.
Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen:
Seien die Mengen $M_{1},\ldots ,M_{n}$ mit $n\in \mathbb {N}$ offen. Dann existieren Schranken $\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}$ und ein $x$ aus dem Schnitt dieser Mengen, sodass $U_{\varepsilon _{i}}(x)\subset M_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$ gilt. Wählt man nun $\varepsilon =\min\{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\}$ , dann ist $U_{\varepsilon }(x)\subset M_{1}\cap \ldots \cap M_{n}$ und somit ist der Durchschnitt dieser Mengen offen.
Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen:
Sei $I$ nun eine beliebige Indexmenge und seien die Mengen $M_{i}$ für $i\in I$ offen. Liegt $x$ in der Vereinigung dieser Mengen, dann gibt es einen Index $i\in I$ mit $x\in M_{i}$ und eine Schranke $\varepsilon$ , sodass $U_{\varepsilon }(x)\subset M_{i}$ gilt. Daraus folgt dann $U_{\varepsilon }(x)\subset \bigcup _{i\in I}M_{i}$ und somit ist die Vereinigung dieser Mengen offen.

Eigenschaften

Die Normtopologie ist eine spezielle starke Topologie. Sie ist von der schwachen Topologie und der schwach-*-Topologie zu unterscheiden.
Ein mit einer Normtopologie versehener topologischer Raum ist immer hausdorffsch, da zwei Vektoren $x,y\in V$ mit $x\neq y$ durch Umgebungen $U_{\varepsilon }(x)$ und $U_{\varepsilon }(y)$ mit $\textstyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}d(x,y)$ voneinander getrennt werden.
Nach dem Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff wird die Topologie eines hausdorffschen topologischen Vektorraums genau dann durch eine Norm erzeugt, wenn er eine beschränkte und konvexe Nullumgebung besitzt.

Literatur

Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

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