John-Nirenberg-Ungleichung

Die John-Nirenberg-Ungleichung ist eine Abschätzung, die nach Fritz John und Louis Nirenberg benannt ist. Sie beschreibt, wie weit eine zum BMO-Raum gehörende Funktion von ihrem Durchschnitt um einen bestimmten Betrag abweichen darf. Dabei kann man die folgenden zwei Sätze unterscheiden.

Allgemeine Bemerkungen

Für das Nachfolgende gilt im Sinne der Definition der BMO-Räume, dass $\mu \colon Q_{0}\rightarrow \mathbb {R} ^{N}$ eine integrierbare Funktion ist, für welche man die BMO-Seminorm

[\mu ]_{*}=[\mu ]_{*,Q_{0}}:=\sup _{Q\subset Q_{0}}\int _{Q}^{}\left|\mu (x)-\mu _{Q}\right|dx

setzt, wobei $Q_{0}$ ein achsenparalleler Würfel im $\mathbb {R} ^{n}$ ist und $\mu _{Q}$ mit

\mu _{Q}:={\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}\mu (x)\mathrm {d} x

für den Durchschnittswert von $\mu$ auf dem Würfel $Q$ steht. Außerdem definiert man für $u\in BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right),\sigma >0$ und $Q\subset Q_{0}$

\Gamma _{\sigma ,Q}(\mu ):=\left\{x\in Q:\mid \mu (x)-\mu _{Q}\mid >\sigma \right\}

John-Nirenberg I

Es gibt zwei positive Konstanten $\alpha$ und $A$ , welche unabhängig von $\mu$ sind, sodass für alle $\mu \in$ $BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ und $\sigma >0$ gilt:

\left|\Gamma _{\sigma ,Q_{0}}(\mu )\right|\leqslant A\exp \left({\frac {-\alpha \sigma }{[\mu ]_{*,Q_{0}}}}\right)\left|Q_{0}\right|

Bemerkung

Ist $\mu \in BMO\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ , so gilt $\mu \in L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ für alle $p\geq 1$ und für jeden achsenparallelen Würfel $Q\subset Q_{0}$ erhält man:

\int _{Q}^{}\mid \mu -\mu _{Q}\mid ^{p}dx\leqslant C[\mu ]_{*,Q}^{p}

John-Nirenberg II

Angenommen für $\mu \in L^{1}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ existieren Konstanten $k>0$ und $p>1$ , sodass jede Zerlegung $\left(Q_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} }$ von $Q_{0}$ im Würfel $Q_{j}$ mit paarweise disjunktem Inneren (also ${\dot {Q}}_{j}\cap {\dot {Q}}_{i}=\varnothing$ mit $i\neq j$ ) gilt:

\sum \limits _{j=1}^{\infty }\left|Q_{j}\right|\left(\int \limits _{Q_{j}}^{}\left|\mu -\mu _{Q_{j}}\right|dx\right)^{p}\leqslant k^{p}

Man bezeichne nun mit $[\mu ]_{p,Q_{0}}$ die kleinste Konstante mit dieser Eigenschaft, dann gilt mit einer Konstante $A=A(\mu ,p)$ :

\left|\Gamma _{\sigma ,Q_{0}}(\mu )\right|=\left|\left\{x\in Q_{0}:\left|\mu (x)-\mu _{Q_{0}}\right|>\sigma \right\}\right|\leqslant A\left({\frac {[\mu ]_{{p},Q_{0}}}{\sigma }}\right)^{p}

Literatur

Kinnunen, J; Myyryläinen, K; Yang, D: John–Nirenberg inequalities for parabolic BMO. Mathematische Annalen, Springer Verlag, vol. 387, Seite 1125–1162, 2023
Chul Pak, H: On the John–Nirenberg inequality. Journal of Inequalities and Applications, Article 130, 2020

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