Langbahn Team – Weltmeisterschaft

Arkussekans und Arkuskosekans

Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf $\lbrack 0\,,\,\pi \rbrack$ , und der Definitionsbereich von Kosekans auf $\lbrack -{\pi /2},\,\pi /2\rbrack$ beschränkt. Der Arkussekans wird mit $\operatorname {arcsec} \,(x)$ bezeichnet und der Arkuskosekans mit $\operatorname {arccsc} \,(x)$ . Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen $\sec ^{-1}(x)$ und $\csc ^{-1}$ ; sie bedeuten aber nicht, dass $\operatorname {arcsec}$ bzw. $\operatorname {arccsc}$ die Kehrwerte von $\sec$ und $\csc$ sind.

Eigenschaften

	Arkussekans	Arkuskosekans
Funktions- Graphen
Definitionsbereich	$-\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty$	$-\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty$
Wertebereich	$0\leq f(x)\leq \pi$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq f(x)\leq {\frac {\pi }{2}}$
Monotonie	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Punkt $x=0,y={\frac {\pi }{2}}$	Ungerade Funktion $\operatorname {arccsc} \,(x)=-\operatorname {arccsc} \,(-x)$
Asymptoten	$f(x)\to {\frac {\pi }{2}}$ für $x\to \pm \infty$	$f(x)\to 0$ für $x\to \pm \infty$
Nullstellen	$x=1\!\,$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	Minimum bei $\left(1\|0\right)$ , Maximum bei $\left(-1\|\pi \right)$	Minimum bei $\left(-1\|-{\frac {\pi }{2}}\right)$ , Maximum bei $\left(1\|{\frac {\pi }{2}}\right)$
Wendepunkte	keine	keine

Reihenentwicklungen

Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:

\operatorname {arcsec}(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}\approx {\frac {\pi }{2}}-x^{-1}-{\frac {1}{6}}x^{-3}-{\frac {3}{40}}x^{-5}

\operatorname {arccsc}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}={\frac {1}{x}}\;+\;{\frac {1}{2\cdot 3x^{3}}}\;+\;{\frac {3}{2\!\cdot \!4\cdot 5x^{5}}}\;+\;{\frac {3\!\cdot \!5}{2\!\cdot \!4\!\cdot \!6\cdot 7x^{7}}}\;+\;\ldots

Integraldarstellungen

Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:

\operatorname {arcsec}(x)=\int \limits _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}

\operatorname {arccsc}(x)=\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}

Ableitungen

Die Ableitungen sind gegeben durch:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} (x)={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} (x)=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

Integrale

\int \operatorname {arcsec} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C

\int \operatorname {arccsc} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C

Umrechnung und Beziehungen zu anderen zyklometrischen Funktionen

\operatorname {arcsec} \,(x)=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)

\operatorname {arccsc} \,(x)=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)

Siehe auch

Weblinks

Eric W. Weisstein: Inverse Secant und Inverse Cosecant auf MathWorld

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Arkussekans