Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus

Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

y=\operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)

y=\operatorname {arcoth} (x)=\coth ^{-1}(x)

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es gilt:

\operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)\not =\tanh(x)^{-1}={\frac {1}{\tanh(x)}}

Oft werden genau bei der Umkehrfunktion auch Spitzklammern um die Minus Eins geschrieben, um diese Verwechselung zu verhindern.

Definitionen

Infinitesimalanalytische Definition

Areatangens hyperbolicus:

\operatorname {artanh} (x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|<1

Areakotangens hyperbolicus:

\operatorname {arcoth} (x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|>1

Geometrische Definitionen

Geometrisch lässt sich der Areatangens hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung $(x,y)=(0,0)$ und der Hyperbel $x^{2}-y^{2}=1$ überstreicht: Es seien $(x,-y)=\left(x,-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ und $(x,y)=\left(x,+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche $A=\operatorname {artanh} \left({\frac {y}{x}}\right)$ überstrichen.

Eigenschaften

	Areatangens hyperbolicus	Areakotangens hyperbolicus
Definitionsbereich	$-1<x<1$	$-\infty <x<-1$ $1<x<\infty$
Wertebereich	$-\infty <f(x)<\infty$	$-\infty <f(x)<\infty ;\;f(x)\neq 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	keine
Symmetrien	ungerade Funktion: $f(-x)=-f(x)$	ungerade Funktion: $f(-x)=-f(x)$
Asymptoten	$x=1\colon \,f(x)\to \infty {\text{ für }}x\to 1$ $x=-1\colon \,f(x)\to -\infty {\text{ für }}x\to -1$	$y=0\colon \,f(x)\to 0{\text{ für }}x\to \pm \infty$
Nullstellen	$x=0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	$x=\pm 1$	$x=\pm 1$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x=0$	keine

Reihenentwicklungen

Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind

{\begin{alignedat}{2}\operatorname {artanh} (x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}&&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}+{\frac {1}{7}}x^{7}+\dotsb &{}\\\operatorname {arcoth} (x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-(2k-1)}}{2k-1}}&&=x^{-1}+{\frac {1}{3}}x^{-3}+{\frac {1}{5}}x^{-5}+{\frac {1}{7}}x^{-7}+\dotsb &{}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)\cdot x^{2k+1}}}&&={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}+{\frac {1}{7x^{7}}}+\dotsb &{}\end{alignedat}}

Ableitungen

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|<1

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcoth} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|>1

Integrale

Reguläre Areafunktionen artanh und arcoth

Die Stammfunktionen von Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus lauten:

\int \operatorname {artanh} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {artanh} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1-x^{2}\right)+C

\int \operatorname {arcoth} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcoth} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(x^{2}-1\right)+C

Kardinalische Areafunktionen

Weder der kardinalische Areatangens hyperbolicus noch sein Kehrwert sind mit elementaren Stammfunktionen integrierbar.

Aber die Integrale von Null bis Eins des kardinalischen Areatangens hyperbolicus sowie vom Kehrwert dieser Funktion sind beide elementar darstellbar.

Die Ursprungsstammfunktion des Areatangens hyperbolicus cardinalis ist die Legendresche Chifunktion zum Index Zwei:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\chi _{2}(x)={\frac {1}{x}}\operatorname {artanh} (x)

\int _{0}^{x}{\frac {1}{y}}\operatorname {artanh} (y)\,\mathrm {d} y=\chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xz)}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z

\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {artanh} (y)}{y{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y=2\,\chi _{2}{\biggl (}{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\biggr )}

Mit dem Kürzel $\arcsin$ wird der Arkussinus dargestellt.

Beispielwerte

Beispielsweise gelten diese Werte:

\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\operatorname {artanh} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{2}}{8}}

\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {artanh} (x)}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{2}}{4}}

Wenn der Kehrwert des Areatangens Hyperbolicus Cardinalis von Null bis Eins integriert wird, dann entsteht das Siebenfache der Apéry-Konstante dividiert durch das Quadrat der Kreiszahl:

\int _{0}^{1}{\frac {x}{\operatorname {artanh} (x)}}\,\mathrm {d} x={\frac {7\,\zeta (3)}{\pi ^{2}}}

Wenn der Kehrwert des Areatangens Hyperbolicus Cardinalis durch die Pythagoräische Gegenstückfunktion geteilt wird, dann entsteht das Vierfache der Catalan-Konstante dividiert durch die Kreiszahl: