Drejningsmoment

Drejningsmoment (eller kraftmoment) er et begreb fra den klassiske mekanik, som beskriver en krafts påvirkning af et legeme i forhold til afstanden til et valgt punkt. Dette er et nyttigt koncept for at forstå roterende systemer lige fra Solsystemet til svensknøgler.

Introduktion

Jo længere væk fra aksen en bestemt kraft virker, desto større drejningsmoment har den. Drejningsmomentet er lig med kraft (F) gange arm (L), hvor arm er afstanden fra kraftens retningslinje til den akse legemet roterer omkring. Da drejningsmomentet ofte betegnes med det græske bogstav $\tau$ (tau), kan definitionen på kraftmoment altså skrives

$\tau =F\cdot L$

Denne formel gælder kun når vinklen mellem kraftens retningslinje og armen er 90°^[1] For andre vinkler, se nedenfor. Anvender man eksempelvis en fastnøgle på en møtrik, bliver drejningsmomentet større jo mere kraft man bruger og jo længere ude på skaftet man holder.

Drejningsmomentet er for roterende bevægelser, hvad kraft er for legemer der bevæger sig lineært (translateres), f.eks. togvogne: Forøger man trækkraften, kan man få en togvogn (med konstant masse) til at accelerere hurtigere.
Analogt for roterende bevægelser vil et forøget drejningsmoment forøge vinkelaccelerationen for et legeme med konstant inertimoment; populært sagt får det større drejningsmoment det roterende legemes "omdrejningstal pr. minut" til at stige hurtigere.

Definition, dimension og måleenhed for drejningsmoment

Illustreret forklaring af drejningsmoment

På tegningen til højre strammes en møtrik (1) med en fastnøgle, som derved fungerer som en vægtstang: Hånden griber om et punkt (2) i afstanden L fra møtrikken (dvs. omdrejningsaksen), og trækker i pilens retning med en kraft af størrelse F. Når vinklen mellem håndens trækkraft og vægtstangen (fastnøglens håndtag) er θ, er drejningsmomentet τ givet ved:
$\tau =F\cdot L\cdot \sin \theta$
Heraf haves, at den fysiske dimension for drejningsmoment er kraft gange afstand, og SI-enheden for drejningsmoment bliver N·m (newton gange meter)

Den linje der går vinkelret gennem trækkraften F's retning (ved nr. 3 på tegningen), og igennem omdrejningsaksen (1), kaldes for momentarmen, og den vil altid være lige så lang som eller kortere end vægtstangens længde L. Når kraften F trækker "på skrå" i vægtstangen, skaber den samme drejningsmoment som et vinkelret træk med samme kraft ville gøre i den kortere momentarm.

Kraftmoment i klassisk mekanik

Kraftmomentet er defineret ud fra impulsmomentet ${\vec {L}}$ , der for en punktpartikel er givet ved:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

hvor ${\vec {r}}$ er stedvektoren for partiklens position regnet fra det valgte punkt, ${\vec {p}}$ er partiklens impuls (impulsvektor), og produktet på højre side er et krydsprodukt af vektorer.

Ligesom en lineær kraft ${\vec {F}}$ er den afledte af impulsen med hensyn til tiden $t$

{\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}

er kraftmomentet ${\vec {\tau }}$ defineret som den afledte af impulsmomentet i forhold til tiden:

${\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}$

hvor $t$ er tid.

Ved at evaluere differentialkvotienten med produktreglen, ses det, at:

{\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m({\vec {v}}\times {\vec {v}})+{\vec {r}}\times {\vec {F}}

Her er det brugt, at

{\vec {p}}=m{\vec {v}}

hvor $m$ er punktpartiklens masse, og ${\vec {v}}$ er dens hastighed. Da krydsproduktet af en vektor med sig selv er nul, reducerer udtrykket for kraftmomentet til: