Oändlig produkt

En oändlig produkt är inom matematiken en produkt som innehåller ett oändligt antal faktorer. Om a_n betecknar den nte faktorn, kan en sådan produkt skrivas

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots .

Konvergens

Det finns två fall då denna produkt sägs konvergera:

$\lim _{N\to \infty }\prod _{n=1}^{N}a_{n}=P\neq 0$ , eller
Endast ett ändligt antal $a_{n}$ är lika med 0.

Om något av dessa fall är uppfyllt sägs produkten vara konvergent; i annat fall är den divergent.

Exempel på divergenta produkter

Produkterna

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ och
$\prod _{n=1}^{\infty }0$

är inte konvergenta.

Krav för konvergens

Om $a_{n}>0$ så konvergerar $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ om och endast om $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergerar.

Exempel

Exempel på välkända oändliga produkter är Viètes formel för talet π,

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

,

och Wallis formel för detsamma,

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots .

Pos.	Team	MP	D +/-	Matches
1	MC Güstrow Torros	0	0	0
2	MC Nordstern Stralsund	0	0	0
3	MSC Wölfe Wittstock	0	0	0

Pos.	Team	MP	LP	Matches
1	DMV White Tigers Diedenbergen	0	0	0
2	Inn Isar Racing Team	0	0	0
3	MC Bergring Teterow	0	0	0

Pos.	Team	LP
1	Emsland Speedway Team	-
2	MC Bergring Teterower Hechtjungen	-
3	MC Güstrow Torros	-

Eisspeedway

Konvergens

Exempel på divergenta produkter

Krav för konvergens

Exempel