Matrisnorm

Inom matematik är en matrisnorm en naturlig förlängning av vektorrnormen för matriser.

Egenskaper

En matrisnorm har samma egenskaper som en vektornorm, och följande gäller då för en matrisnorm i rummet $K_{m,n}$ , då $K$ är en kropp, till exempel de reella eller komplexa talen. $A$ och $B$ är matriser i $K_{m,n}$ :

$\|A\|\geq 0$ med likhet om och endast om $A=0$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|$ för alla $\alpha \in K$
$\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$

För kvadratiska matriser uppfyller vissa, men inte alla, matrisnormer

\|AB\|\leq \|A\|\|B\|

ett rum av reella eller komplexa kvadratiska matriser med en norm som uppfyller detta bildar en Banachalgebra.

Inducerade normer

Om normer för $K^{m}$ och $K^{n}$ är givna (då $K$ är någon kropp, exempelvis de reella eller komplexa talen), kan man definiera en inducerad norm (en så kallad operatornorm) på rummet av alla matriser med format m × n med:

\|A\|=\max\{\|Ax\|:x\in K^{n},\|x\|\leq 1\}=\max\{\|Ax\|:x\in K^{n},\|x\|=1\}=\max\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n},\|x\|\neq 0\}

Om vektornormen är en p-norm blir då matrisnormen:

\|A\|_{p}=\max _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}

Om $p=1$ eller $p=\infty$ kan normen beräknas som:

\|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|

, dvs den största kolumnsumman (av elementens belopp)

\|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|

, den största radsumman.

Om $p=2$ och $m=n$ kallas den inducerade matrisnormen för spektralnormen och är lika med matrisens största singulärvärde eller den roten ur det största egenvärdet till den positivt definita matrisen $A^{*}A$ :