Laguerrepolynom

Laguerrepolynom är ett matematiskt begrepp, där n te Laguerrepolynomet $L_{n}^{\alpha }$ som svarar mot parametern $\alpha$ , definierat enligt

L_{n}^{\alpha }\left(x\right)={\frac {x^{-\alpha }e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{\alpha +n}e^{-x}\right),

där $\alpha$ är ett reellt tal så att $\alpha >-1$ .

För att följa den vanliga konventionen för definitionen av ortogonala polynom så kan man säga att Laguerrepolynomen svarar mot intervallet $0\leq x<\infty$ samt viktfunktionen $w\left(x\right)=x^{\alpha }e^{-x}$ .

I viss litteratur förekommer benämningarna Laguerrepolynom samt generaliserade Laguerrepolynom för fallen $\alpha =0$ respektive $\alpha \neq 0$ .

Olikheten för parametern $\alpha$ som förekommer i definitionen ovan, måste i allra högsta grad uppfyllas. För att förstå nödvändigheten i detta, förutsätt för en stund att olikheten inte uppfylls. Då kommer viktfunktionen $w\left(x\right)=x^{\alpha }e^{-x}$ inte vara integrerbar i origo, så att integralerna som definierar både ortogonalitet och norm för Laguerrepolynomen kommer att divergera.

Laguerrepolynomen satisfierar Laguerreekvationen:

x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0.\,

Ett användningsområde för Laguerrepolynomen finns inom kvantmekaniken, där de förekommer då man behandlar väteatomens tillstånd.

Laguerrepolynomen är uppkallade efter Edmond Laguerre (1834-1886).

De första Laguerrepolynomen

n	$L_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,$
3	${\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,$
4	${\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,$
5	${\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,$
6	${\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,$

Alternativa definitioner

Man kan definiera Laguerrapolynomen genom att först definierar

L_{0}(x)=1\,

L_{1}(x)=1-x\,

och sedan använda följande differensekvation för alla k ≥ 1:

L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)\right).

En sluten formel är

L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha  \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}.

Rodirgues formel för dem är

L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)=x^{-\alpha }~{\frac {({\frac {d}{dx}}-1)^{n}}{n!}}~x^{n+\alpha }.

Laguerrepolynomens exponentiella genererande funktion är

\sum _{n}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}~e^{\frac {-tx}{1-t}}~.

Egenskaper

De första Laguerrepolynomen med parametern α är

{\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+\alpha +1\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}.

$L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}\approx {\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}.$

L_n^(α) har n reella, strikt positiva rötter som är alla i intervallet $\left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\right].$

Laguerrepolynomens asymptotiska tillväxt för stora n fixerat α och x > 0, ges av

L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\cos \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right)

L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right)

som kan sammanfattas som

{\frac {L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{n}}\right)}{n^{\alpha }}}\approx e^{\frac {x}{2n}}\cdot {\frac {J_{\alpha }\left(2{\sqrt {x}}\right)}{{\sqrt {x}}^{\alpha }}}

där $J_{\alpha }$ är Besselfunktionen.

Identiteter

Additionsformeln för Laguerrepolynomen är

L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y)

.

Laguerrepolynomen satisfierar ett flertal intressanta relationer:

L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}}

L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)

L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x)

L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x).

Dessutom är

{\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}L_{n-j}^{(\alpha -k+j)}(x)\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha  \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x)\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x)\end{aligned}}

och genom att kombinera dem kan man bevisa att

{\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x).\end{aligned}}

En intressant identitet för heltal i och n är

{\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x)

som kan användas till att härleda partialbråksuppdelningen

{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)}{n+\alpha  \choose n}}=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.

Multiplikationsteorem

Två multiplikationsteorem av Erdélyi är

$t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z)$

och

$e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).$

Derivator

Laguerrepolynomens derivator kan räknas med hjälp av

{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)\,.

Dessutom gäller följande ekvation

{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha  \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x)

som kan generaliseras till

L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.

Derivatan i förhållande till andra variabeln α är

{\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.

Laguerrepolynomen satisfierar differentialekvationen

xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0.\,

Ortogonalitet

Laguerrepolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m}

som följer ur

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').

Relation till andra funktioner

Laguerrepolynomen är relaterade till generaliserade hypergeometriska funktionen enligt

L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha  \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)

där $(a)_{n}$ är Pochhammersymbolen.

Hermitepolynomen är ett specialfall av Laguerrepolynomen:

H_{2n}(x)=(-1)^{n}\ 2^{2n}\ n!\ L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})

och

H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_{n}^{(1/2)}(x^{2}).

Oändliga serier som innehåller Laguerrepolynom

Anta att funktionen f har serieexpansionen

f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).

Då är

f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha  \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.

Monom kan skrivas som

{\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha  \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x).

Binomialkoefficienterna har expansionen

{n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha )

som leder till formeln

e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad \left({\text{konvergerar om }}\operatorname {Re} {(\gamma )}>-{\frac {1}{2}}\right).

Ofullständiga gammafunktionen har representationen

\Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).

En annan oändlig serie är

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)r^{n}}{\Gamma \left(1+\alpha +n\right)}}={\frac {\exp \left(-{\frac {\left(x+y\right)r}{1-r}}\right)I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyr}}}{1-r}}\right)}{\left(xyr\right)^{\frac {\alpha }{2}}\left(1-r\right)}},\quad ,\alpha >-1,\left|r\right|<1.

Övrigt

Följande olikhet för Laguerrepolynomen gäller:

L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.

Följande integral är viktig i vissa fysikaliska applikationer av Laguerrepolynom:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).

Se även

Q-Laguerrepolynom

Källor

Gerald B. Folland, Fourier analysis and its applications, Brooks/Cole publishing company, 1992.
B. H. Bransden and C. J. Joachain, Quantum mechanics, second edition, Prentice hall, Pearson Education, 2000.
Donald A. McQuarrie, Mathematical methods for scientists and engineers, University science books, 2003.

Externa länkar

Wikimedia Commons har media som rör Laguerrepolynom.
Bilder & media

Fahrer / Team für die Suche eingeben: