Warunek Lipschitza

Warunek Lipschitza – własność ograniczenia ilorazów różnicowych funkcji; intuicyjnie można powiedzieć, że ograniczona jest szybkość zmian jej wartości. Funkcje spełniające ten warunek nazywa się lipschitzowskimi^[1]. Okazuje się, że jest to pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji.

Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Definicja

Funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $L,$ gdy dla dowolnych $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ zachodzi nierówność

|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant L|x_{1}-x_{2}|.

Definicja ta naturalnie rozszerza się na funkcje określone pomiędzy przestrzeniami metrycznymi.

Niech $(X,d),(Y,\sigma )$ będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja $f\colon X\to Y$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $L,$ gdy dla dowolnych $x_{1},x_{2}\in X$ zachodzi nierówność

\sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant L\cdot d(x_{1},x_{2}).

Najmniejszą liczba $L$ dla której powyższa nierówność zachodzi dla wszelkich $x_{2}\in X$ (o ile istnieje) nazywana jest stałą Lipschitza funkcji $f.$ Funkcje spełniające warunek Lipschitza ze stałą $L<1$ nazywane są kontrakcjami.

Przykłady

Funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dana wzorem

f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}

spełnia warunek Lipschitza ze stałą

L=1.

Rzeczywiście, dla

x,y\in \mathbb {R} ,x\neq y,

zachodzi

|f(x)-f(y)|=|{\sqrt {x^{2}+5}}-{\sqrt {y^{2}+5}}|={\Big |}{\tfrac {x^{2}+5-y^{2}-5}{{\sqrt {x^{2}+5}}+{\sqrt {y^{2}+5}}}}{\Big |}\leqslant {\Big |}{\tfrac {(|x|+|y|)(|x|-|y|)}{{\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}}}{\Big |}\leqslant |x-y|.

Funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x)=|x|$ jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą warunek Lipschitza ze stałą $L=1.$
Funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x)=x^{2}$ nie spełnia warunku Lipschitza, bo nie jest jednostajnie ciągła.
Niech $a<b.$ Funkcja $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x)=x^{2}$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $L=2|b|,$ gdy $|b|\leqslant |a|$ oraz ze stałą $L=2|a|,$ gdy $|a|\leqslant |b|.$

Podstawowe własności

Każda funkcja lipschitzowska jest jednostajnie ciągła.

Dowód. Niech

f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}

będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą

L.

Niech

x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}

oraz niech dany będzie

\varepsilon >0.

Gdy

\delta =\varepsilon /L,

to

|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant L|x_{1}-x_{2}|\leqslant L\varepsilon /L=\varepsilon

o ile tylko

|x_{1}-x_{2}|\leqslant \delta .

Rozumowanie to przenosi się mutatis mutandis na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.

Twierdzenie Rademachera: funkcje lipschitzowskie są prawie wszędzie różniczkowalne.

Niech $f\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas $f$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lipschitza $L$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest ograniczona przez $L.$

Dowód. Załóżmy, że

f

spełnia warunek Lipschitza ze stałą

L.

Niech

x_{0}\in (a,b).

Wówczas dla

x\in (a,b),x\neq x_{0}{:}

\left|{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right|={\frac {|f(x)-f(x_{0})|}{|x-x_{0}|}}\leqslant L.

Stąd

|f'(x_{0})|\leqslant L.

By udowodnić przeciwną implikację, załóżmy, że

|f'(x)|\leqslant L

dla wszelkich

x\in (a,b).

Niech

x_{1},x_{2}\in (a,b).

Bez straty ogólności, można przyjąć, że

x_{1}<x_{2}.

Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że istnieje takie

c\in (x_{1},x_{2}),

że

f(x_{2})-f(x_{1})=f'(c)(x_{2}-x_{1}).

Ponieważ

|f'(c)|\leqslant L,

|f(x_{2})-f(x_{1})|=|f'(c)|\,|x_{2}-x_{1}|\leqslant L|x_{2}-x_{1}|,

co pokazuje, że

f

spełnia warunek Lipschitza ze stałą

L.

Niech $(\Omega ,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem funkcji rzeczywistych na $\Omega .$ Jeżeli ciąg ten jest zbieżny według miary do pewnej funkcji $f$ oraz funkcja $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ spełnia warunek Lipschitza, to ciąg $(g\circ f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny według miary do $g\circ f.$

Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza

Przypisy

↑ Bartosz Budnarowski, Funkcje Lipschitzowskie, mimuw.edu.pl [dostęp 2023-02-07].

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Lipschitz Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-02-07].
Lipschitz function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].

[1] Bartosz Budnarowski, Funkcje Lipschitzowskie, mimuw.edu.pl [dostęp 2023-02-07].

[1]

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Eisspeedway

Warunek Lipschitza

Definicja

Przykłady

Podstawowe własności

Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza

Przypisy

Linki zewnętrzne