Układ dynamiczny
Układ dynamiczny – model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania. Układy złożone są najczęściej symulowane komputerowo. Niektóre układy dynamiczne mogą wykazywać właściwości chaotyczne, najprostszym przykładem jest odwzorowanie logistyczne.
W odróżnieniu od układu statycznego, którego stan w danej chwili t jest zależny wyłącznie od wartości parametrów w chwili t, układ dynamiczny zależy także od parametrów z przeszłości.[1] Innymi słowy system dynamiczny wymaga pamięci na temat poprzednich stanów aby wytworzyć wynik. Można go także określić jako układ z pamięcią, czyli układ, którego zachowanie zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.
Typy układów dynamicznych
Gładkie
(pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)
– zbiór z pewną strukturą różniczkowalną,
– rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (dyfeomorfizmów) spełniających warunek
Topologiczne
(dziedzina: dynamika topologiczna)
Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz niech będzie odwzorowaniem. Parę nazywa się układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich oraz zachodzą warunki:
oraz jest odwzorowaniem ciągłym.
Interpretacja
Interpretacja tej definicji może być następująca:
Przestrzeń jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych reprezentuje oś czasu. Punkt jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili w stanie Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.
Teoriomiarowe
(dziedzina: teoria ergodyczna)
– przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna), – odwzorowanie mierzalne, o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. dla
Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza[2][3][4][5][6] oraz przesunięcie w lewo dla uogólnionego schematu Bernoulliego (układu Bernoulliego), albo np.
- dla
![{\displaystyle x\in X=[0,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64da3c88ed5e3c7bddd0216f1e99a869c6d8087b)
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Yon-Ping Chen, Static and Dynamic Systems [online].
- ↑ Hiroshi H. Hasagawa, William C. Saphir, Unitarity and irreversibility in chaotic systems, „Physical Review A”, 46, p. 7401 (1992).
- ↑ Ronald J. Fox, Construction of the Jordan basis for the Baker map, Chaos, 7, p. 254 (1997).
- ↑ Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ISBN 0-7923-5564-4 (Exposition of the eigenfunctions the Baker’s map).
- ↑ Friedrich L. Bauer, Sekrety kryptografii, Helion, 2003, ISBN 83-7197-960-6.
- ↑ B. Schweizer, A. Sklar, „Foundations of Physics”, Vol. 20, No. 7, 1990, s. 873.