Twierdzenie o izomorfizmie – twierdzenie matematyczne, szeroko stosowane w algebrze uniwersalnej, mówiące o istnieniu pewnych naturalnych izomorfizmów.

Twierdzenia o izomorfizmie zostały sformułowane w pewnej ogólności dla homomorfizmów modułów przez Emmy Noether w jej dziele Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern („Abstrakcyjne konstrukcje teorii ideałów w algebraicznych ciałach liczbowych i funkcyjnych”) opublikowanej w 1927 roku w Mathematische Annalen. Mniej ogólne wersje tych twierdzeń można znaleźć w pracach Richarda Dedekinda i wcześniejszych pracach Noether.

Trzy lata później Bartel Leendert van der Waerden wydał swoją doniosłą Algebrę, pierwszy podręcznik algebry abstrakcyjnej, który wykorzystywał (teraz tradycyjne) podejście do przedmiotu: grupy-pierścienie-ciała. Van der Waerden wskazał jako swoje główne źródła wykłady z teorii grup u Noether i algebry u Emila Artina oraz seminarium prowadzone przez Artina, Wilhelma Blaschke, Ottona Shreiera i samego van der Waerdena dotyczące ideałów. Pojawiają się w nim trzy twierdzenia o izomorfizmie nazywane twierdzeniem o homomorfizmie oraz, w odniesieniu do grup, dwoma prawami izomorfizmów.

Poniższe twierdzenia o izomorfizmie dla grup przyjmują prostszą postać niż ich ogólne odpowiedniki i wyrażają ważne własności grup ilorazowych; we wszystkich trzech „dzielnikiem” jest podgrupa normalna („dzielnik normalny”).

Jeżeli są grupami, a

jest homomorfizmem, to

• jądro homomorfizmu jest podgrupą normalną
• obraz jest podgrupą a
• grupa ilorazowa nazywana czasem koobrazem, jest izomorficzna z obrazem

Jeżeli ciąg rozszczepia się, to jest w rzeczywistości iloczynem półprostym. W kategorii abelowej lemat o rozszczepianiu uściśla ten fakt do rozkładu na sumę prostą.

Niech

będą podgrupami

będzie podgrupą normalną

Wówczas

Iloczyn grup oraz jest podgrupą w

jest podgrupą normalną w a

jest izomorficzna z

Jeżeli

są podgrupami normalnymi w takimi, że zawiera się w

to

jest podgrupą normalną w

jest podgrupą normalną w

jest izomorficzna z

Wynik ten uogólnia się przez lemat dziewiątkowy na kategorie abelowe i bardziej ogólne odwzorowania między obiektami.

Twierdzenia o izomorfizmie są prawdziwe także dla pierścieni, homomorfizmów pierścieni i ideałów. W tym przypadku należy zamienić pojęcia „grupa” na „pierścień”, „podgrupa” na „podpierścień” i „podgrupa normalna” na „ideał”, a „grupa ilorazowa” na „pierścień ilorazowy”.

Twierdzenia o izomorfizmie obowiązują również dla modułów nad ustalonym pierścieniem W sformułowania należy jedynie zamienić pojęcia „grupa” na „-moduł”, „podgrupa” i „podgrupa normalna” na „podmoduł”, a „grupa ilorazowa” na „moduł ilorazowy”.

Tym samym twierdzenia zachodzą i dla przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem: wystarczy użyć odpowiednio kolejnych pojęć „przestrzeń liniowa”, „podprzestrzeń liniowa” oraz „przestrzeń ilorazowa” w miejsce wymienionych wyżej struktur modularnych. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie jest lepiej znane w tym kontekście jako twierdzenia o rzędzie.

We wspomnianych przypadkach używana jest notacja addytywna supremum to „”, nie zaś „”.

Aby uogólnić ten wynik na algebrę uniwersalną, podgrupy normalne muszą być zastąpione kongruencjami.

Krótko, jeżeli jest algebrą uniwersalną, to kongruencją na jest relacja równoważności określona na która jest podalgebrą, gdy jest ona rozpatrywana jako podzbiór (z działaniami określonymi po współrzędnych). Zbiór klas równoważności może być przekształcony w algebrę tego samego typu poprzez zdefiniowanie działań na reprezentantach; będą one dobrze określone, ponieważ jest podalgebrą

Jeżeli są algebrami, a homomorfizmem z do to relacja równoważności określona na wzorem

jest kongruencją na zaś algebra jest izomorficzna z obrazem czyli podalgebrą w

Dla danej algebry i jej podalgebry oraz kongruencji określonej na niech będzie podzbiorem wyznaczanym przez wszystkie klasy kongruencji zawierające element z Symbol będzie oznaczał przecięcie (rozpatrywane jako podzbiór ) z Wówczas jest podalgebrą a jest kongruencją na i wreszcie algebra jest izomorficzna z algebrą

Niech będzie algebrą, a oraz będą dwoma relacjami kongruencji określonymi na gdzie zawiera się w Wówczas wyznacza kongruencję na określoną wzorem

a jest izomorficzna z

• lemat Zassenhausa (czasami nazywany czwartym twierdzeniem o izomorfizmie)

• Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927), s. 26-61.
• Colin McLarty (pod redakcją Jeremy’ego Graya i José Ferreirósa), The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy – Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors, Oxford University Press (2006), s. 211–35.

• Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).
• Drugie twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).
• Trzecie twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).