Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego ${\vec {a}}.$

Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce.

Teza

Niech $V\subset \mathbb {R} ^{3}$ będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą $S,$ a $P(x,y,z),Q(x,y,z)$ i $R(x,y,z)$ będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze $V.$ Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:

\iint \limits _{S}(P\;dy\,dz+Q\;dz\,dx+R\;dx\,dy)=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\;dx\,dy\,dz.

Przy czym całka po lewej stronie liczona jest po zewnętrznej stronie powierzchni $S.$

Dowód

Niech $V$ oznacza rzut na płaszczyznę $XOY$ oraz dla $D\subseteq V,$ niech

{\bar {V}}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,\colon \,(x,y)\in {\bar {D}}\wedge z\in [g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]\}

Podzielmy powierzchnię $S$ na trzy takie części $S_{1},S_{2},S_{3},$ że:

S_{1}=\{(x,y,g_{1}(x,y))\colon (x,y)\in D\}

S_{2}=\{(x,y,z)\colon (x,y)\in \partial D\wedge z\in [g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]\}

S_{3}=\{(x,y,g_{2}(x,y))\colon (x,y)\in D\},

przy czym $\partial D$ oznacza brzeg obszaru $D.$

Dla $S_{2}$ trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla $S_{1}$ wektor normalny ma postać

\pm \left[{\frac {\partial g_{1}}{\partial x}},{\frac {\partial g_{1}}{\partial y}},-1\right].

Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni $S.$ Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi $-1.$ Analogicznie dla powierzchni $S_{3}$ wektor normalny wynosi

\left[-{\frac {\partial g_{2}}{\partial x}},-{\frac {\partial g_{2}}{\partial y}},1\right].

Weźmy składową $R$ pola wektorowego. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:

\iint \limits _{S}R\,dx\,dy=\iint \limits _{S_{1}}R\,dx\,dy+\iint \limits _{S_{3}}Rdx\,dy

=\iint \limits _{D}R(x,y,g_{2}(x,y))dx\,dy-\iint \limits _{D}R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy

=\iint \limits _{D}(R(x,y,g_{2}(x,y))-R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy.

Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:

\iiint \limits _{V}{\frac {\partial R}{\partial z}}(x,y,z)dx\,dy\,dz=\iint \limits _{D}dx\,dy\int \limits _{g_{1}(x,y)}^{g_{2}(x,y)}{\frac {\partial R}{\partial z}}(x,y,z)dz.

Dalej, stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

\iiint \limits _{V}{\frac {\partial R}{\partial z}}dx\,dy\,dz=\iint \limits _{D}(R(x,y,g_{2}(x,y))-R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy.

Dowody dla składowych $P$ i $Q$ są analogiczne.

A więc lewa i prawa strona tezy są równe.

Postać wektorowa

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.

Niech ${\vec {A}}$ będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości $V,$ otoczonej powierzchnią $S.$ Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać^[1]:

\int \limits _{S}{\vec {\mathbf {A} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}=\int \limits _{V}\left(\nabla \cdot {\vec {\mathbf {A} }}\right)\;dV,

gdzie ${\vec {\mathbf {d} S}}$ jest wektorem powierzchni dla infinitezymalnego elementu powierzchni $dS$ na powierzchni $S,$ a $dV$ jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze $V.$

Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.

Zobacz też

Przypisy

↑ Gaussa–Ostrogradskiego wzór, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-06] .

Linki zewnętrzne

Divergence theorem, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2021-03-12].

[epwn-1] Gaussa–Ostrogradskiego wzór, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-06] .

[1]

typy	całka wielokrotna całka podwójna całka krzywoliniowa całka powierzchniowa
twierdzenia	Fubiniego Greena Ostrogradskiego-Gaussa Stokesa
powiązane pojęcia	pole skalarne pole wektorowe jakobian gradient dywergencja rotacja forma różniczkowa rozmaitość różniczkowa brzeg
uczeni	Carl Friedrich Gauss George Green Michaił Ostrogradski Carl Gustav Jakob Jacobi George Gabriel Stokes Guido Fubini

Fahrer / Team für die Suche eingeben: