Twierdzenie Greena

Niech $D$ będzie obszarem normalnym, takim że $x\in [a,b]$ oraz $g_{1}(x)<y<g_{2}(x),$ wtedy brzeg $D$ możemy podzielić na krzywe gładkie $C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},$ co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Twierdzenie Greena – twierdzenie analizy matematycznej wiążące pewne całki krzywoliniowe – konkretniej całki okrężne na płaszczyźnie – z całkami podwójnymi^[1]. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa^[2], które już nie zawiera warunku płaskości krzywej. Zostało sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George’a Greena.

Treść twierdzenia

Jeżeli funkcje $P$ i $Q$ są klasy $C^{1}$ wewnątrz obszaru regularnego $D,$ krzywa regularna $K$ jest brzegiem obszaru $D$ i jest zorientowana dodatnio, to^[1]:

\int \limits _{K}{(Pdx+Qdy)}=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy.

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa $K$ jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

\oint \limits _{K}{(Pdx+Qdy)}=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy.

Dowód

Niech $D$ będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc ${\bar {D}}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x\in [a,b]\wedge \,y\in [g_{1}(x),g_{2}(x)]\}.$

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych $C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}{:}$

C_{1}=\{(t,g_{1}(t))\colon t\in [a,b]\},

C_{2}=\{(b,t)\colon t\in [g_{1}(b),g_{2}(b)]\},

C_{3}=\{(-t,g_{2}(-t))\colon t\in [-b,-a]\},

C_{4}=\{(a,-t)\colon t\in [-g_{1}(a),-g_{2}(a)]\}.

Wówczas $dx=dt$ dla $C_{1},$ $dx=-dt$ dla $C_{3}$ oraz $dx=0$ dla $C_{2},C_{4}.$

Tak więc dla składowej $P$ pola wektorowego otrzymujemy:

\oint \limits _{K}Pdx=\int \limits _{C_{1}}Pdx+\int \limits _{C_{3}}Pdx=\int \limits _{a}^{b}P(t,g_{1}(t))dt+\int \limits _{-b}^{-a}P(-t,g_{2}(-t))(-dt)=\int \limits _{a}^{b}(P(t,g_{1}(t))-P(t,g_{2}(t)))dt,

zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik $-{\frac {\partial P}{\partial y}}{:}$

\iint \limits _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dy.

Stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

\iint \limits _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}(P(t,g_{1}(t))-P(t,g_{2}(t)))dt.

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej $Q.$

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.

Przypisy

↑ ^a ^b Greena twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
↑ Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 207-208. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Linki zewnętrzne

Green formulas (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

[epwn-1] Greena twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .

[Jahnke-2] Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 207-208. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

[1]

[2]

typy	całka wielokrotna całka podwójna całka krzywoliniowa całka powierzchniowa
twierdzenia	Fubiniego Greena Ostrogradskiego-Gaussa Stokesa
powiązane pojęcia	pole skalarne pole wektorowe jakobian gradient dywergencja rotacja forma różniczkowa rozmaitość różniczkowa brzeg
uczeni	Carl Friedrich Gauss George Green Michaił Ostrogradski Carl Gustav Jakob Jacobi George Gabriel Stokes Guido Fubini

Fahrer / Team für die Suche eingeben: