Twierdzenie Banacha o kontrakcji, o punkcie stałym^[1][2][3], zasada Banacha^[4] – twierdzenie topologii i teorii punktu stałego, dotyczące zupełnych przestrzeni metrycznych. Mówi ono, że dowolna kontrakcja takiej przestrzeni ma dokładnie jeden punkt stały. Do treści tego twierdzenia włącza się też konstruktywny dowód pierwszego faktu – do punktu stałego zbiega dowolny ciąg wartości iteracji danej kontrakcji, zaczynający się w dowolnym miejscu.

Ilustracją twierdzenia bywa obrazowa konsekwencja: gdy mapę Polski rozłoży się gdziekolwiek na ziemi w Polsce, to dokładnie jeden punkt powierzchni gruntu leży pod swoim obrazem^[5].

Twierdzenie to opublikował Stefan Banach w 1922 roku w czasopiśmie „Fundamenta Mathematicae”, w kontekście przestrzeni Banacha^[5]. Znalazło zastosowanie w analizie matematycznej, m.in. w badaniach równań różniczkowych, całkowych i analizie numerycznej. Udowodniono też:

• uogólnienia – analogiczne własności szerszych klas funkcji;
• odwrócenia – pewne własności funkcji zdefiniowane punktami stałymi pociągają za sobą kontrakcyjność.

Jeśli jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś jest kontrakcją, to^[2]:

• odwzorowanie ma dokładnie jeden punkt stały oraz
• dla dowolnego ciąg jest zbieżny do

• Najłatwiej wykazać jednoznaczność punktu stałego: niech bowiem będzie stałą Lipschitza kontrakcji a jej punktami stałymi. Mamy wówczas

W ostatnim kroku skorzystano z ograniczeń na stałą implikujących Finalna nierówność zachodzi tylko dla co z definicji metryki oznacza, że a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.

• Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt i oszacujmy odległość między wartością -tej i -tej iteracji kontrakcji dla punktu (korzystając przy tym -krotnie z nierówności trójkąta). Można wykazać, iż ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, a zatem ma granicę (bo jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji że jego granica jest punktem stałym przekształcenia

Powstały też co najmniej cztery inne dowody tego twierdzenia, w tym jeden niekonstruktywny^[6].

Za pomocą tego twierdzenia można wykazać:

• twierdzenie o funkcji uwikłanej^[7][8],
• twierdzenie o funkcji odwrotnej,
• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa^[7],
• istnienie atraktora układu przekształceń zwężających,
• zbieżności niektórych algorytmów numerycznych; zob. np. metoda Gaussa-Seidla.

Wykorzystuje się je też m.in. w teorii równań różniczkowych^[7][9] i całkowych^{[potrzebny przypis]}.

• W twierdzeniu nie można opuścić założenia zupełności. Istotnie, odwzorowanie jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni w siebie, pozbawioną punktów stałych^[6].

• Nie można też osłabić warunku kontrakcji, zastępując go zmniejszaniem odległości^[6]:

Funkcja zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego.

• Mimo to jeśli przestrzeń jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego^{[potrzebny przypis]}.

Twierdzenie zachodzi też dla funkcji:

• z kontraktywną iteracją naturalną^[7];
• spełnianiających nierówności typu

gdzie jest przekształceniem przedziału w siebie, mającym pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne^[7].

Jeśli jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to można zmetryzować w sposób zupełny tak, by było kontrakcją względem tej metryki. Stałą kontrakcji może być dowolna liczba z przedziału zadana z góry^[10].

Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; wykazał je Czesław Bessaga w 1958 roku^[10].

Niech będzie zupełną przestrzenią metryczną, a odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:

1. dla pewnego
2. dla każdego
3. istnieje takie otoczenie punktu że dla dowolnego otoczenia tego punktu istnieje taki indeks że dla

Wówczas dla dowolnej stałej istnieje równoważna z metryka zupełna na przy której jest kontrakcją ze stałą ^{[potrzebny przypis]}.

• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Wariacje na temat Zasady Banacha, Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach, smp.uph.edu.pl, 2008 [dostęp 2023-08-26] .
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. 1972, seria: Biblioteka Matematyczna.

• Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
• William A. Kirk, Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Banach Fixed Point Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-24].
• Contracting-mapping principle (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].