Tożsamość Brahmagupty

Tożsamość Brahmagupty^[1] – tożsamość algebraiczna, z której wynika, że iloczyn dwóch liczb postaci $a^{2}+nb^{2}$ również jest tej postaci. Innymi słowy, zbiór liczb postaci $a^{2}+nb^{2}$ jest zamknięty ze względu na mnożenie^[1]. Tożsamość Brahmagupty orzeka, że^[1]^[2]

{\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&&(1)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&&(2)\end{aligned}}

Obie równości łatwo zweryfikować, podnosząc wszystkie wyrażenia do kwadratu i redukując wyrazy podobne.

Po przyjęciu w powyższym wzorze $n=1$ otrzymujemy tożsamość Fibonacciego^[1], nazywaną także tożsamością Diofantosa^[2]. Stwierdza ona, że iloczyn dwóch liczb, z których każda jest sumą dwóch kwadratów, również jest sumą dwóch kwadratów^[2]

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\end{aligned}}

Tożsamość Fibonacciego stanowi szczególny przypadek tożsamości Lagrange’a $(n=2).$

Tożsamość Brahmagupty jest prawdziwa dla liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i ogólnie, dla dowolnego pierścienia przemiennego.

Tożsamość ta jest stosowana w teorii liczb, przy założeniu, że liczby $a,b,c,d$ i $n$ są całkowite. Wraz z twierdzeniem Fermata o sumie dwóch kwadratów jest używana do udowodnienia, że liczba całkowita jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby pierwsze postaci $4k+3$ występują w jej rozkładzie na czynniki pierwsze z parzystym wykładnikiem^[1].

Historia

Tożsamość po raz pierwszy pojawia się w Arytmetyce Diofantosa (III, 19)^[3]. Została ponownie odkryta przez Brahmaguptę (598–668), indyjskiego matematyka i astronoma, który uogólnił ją i używał do badań równań błędnie nazywanych równaniami Pella. Jego Brahmasphutasiddhanta została przetłumaczona z Sanskrytu na arabski przez Mohammada al-Fazariego, a potem na łacinę w 1126^[4]. Tożsamość pojawia się później w książce Fibonacciego Liber quadratorum z 1225 roku.

Związek z liczbami zespolonymi

Jeśli $a,\ b,\ c,$ i $d$ są liczbami rzeczywistymi, tożsamość Fibonacciego jest równoważna multiplikatywności modułu w ciele liczb zespolonych:

|a+bi|\ |c+di|=|(a+bi)(c+di)|

Ponieważ

|a+bi|\ |c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,

więc po podniesieniu obu stron do kwadratu,

|a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2}

i po zastosowaniu definicji modułu, otrzymamy:

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.

Zastosowanie do rozwiązywania równań Pella

Brahmagupta zastosował odkrytą tożsamość do rozwiązania konkretnego równania Pella: $x^{2}-Ny^{2}=1.$ Używając tożsamości w ogólniejszej postaci:

(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

Brahmagupta był w stanie połączyć trójki $(x_{1},y_{1},k_{1})$ i $(x_{2},y_{2},k_{2}),$ będące rozwiązaniami $x^{2}-Ny^{2}=k,$ aby otrzymać nową trójkę

(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).

Metoda ta nie tylko pozwoliła na otrzymanie nieskończenie wielu rozwiązań równania $x^{2}-Ny^{2}=1$ przy użyciu tylko jednego rozwiązania, ale także na uzyskanie całkowitych, lub „prawie całkowitych” wyników, poprzez podzielenie otrzymanej trójki liczb przez $k_{1}k_{2}.$ Ogólna metoda rozwiązywania równań Pella (tzw. metoda ćakrawala) została znaleziona przez Bhaskarę II w 1150 i bazowała ona na tożsamości Brahmagupty^[5].

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b ^c ^d ^e AdamA. Neugebauer AdamA., Algebra i teoria liczb, Wydawnictwo szkolne OMEGA, 2020 (Matematyka olimpijska), s. 270-275, ISBN 978-83-7267-710-5 (pol.).
↑ ^a ^b ^c MichałM. Kieza MichałM., Tożsamość Diofantosa, „Kwadrat”, 2 (12/2011), Olimpiada Matematyczna Juniorów, 2011, s. 2-3 [dostęp 2024-03-31] (pol.).
↑ Thomas Little Heath: Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra. Cambridge University Press, 1910, s. 166.
↑ George GhevergheseG.G. Joseph George GhevergheseG.G., The Crest of the Peacock, wyd. New ed, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 2000, s. 306, ISBN 0-691-00659-8, OCLC 45031736 .
↑ John Stillwell: Mathematics and its history. Wyd. 2. Springer, 2002, s. 72–76. ISBN 978-0-387-95336-6.

Linki zewnętrzne

MarekM. Kordos MarekM., Skąd mógł to wiedzieć?, „Delta”, wrzesień 2018, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-03] .
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fibonacci Identity, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].

[:0-1] AdamA. Neugebauer AdamA., Algebra i teoria liczb, Wydawnictwo szkolne OMEGA, 2020 (Matematyka olimpijska), s. 270-275, ISBN 978-83-7267-710-5 (pol.).

[:1-2] MichałM. Kieza MichałM., Tożsamość Diofantosa, „Kwadrat”, 2 (12/2011), Olimpiada Matematyczna Juniorów, 2011, s. 2-3 [dostęp 2024-03-31] (pol.).

[3] Thomas Little Heath: Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra. Cambridge University Press, 1910, s. 166.

[4] George GhevergheseG.G. Joseph George GhevergheseG.G., The Crest of the Peacock, wyd. New ed, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 2000, s. 306, ISBN 0-691-00659-8, OCLC 45031736 .

[5] John Stillwell: Mathematics and its history. Wyd. 2. Springer, 2002, s. 72–76. ISBN 978-0-387-95336-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: